Question 4
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
Déterminer les dimensions des coefficients \(K\) et \((-G)\) intervenant ( sous une analogie formelle) entre:
a. forces d'interaction électrostatiques s'exerçant entre deux charges ponctuelles:
\(\overrightarrow{F}_{1\to2} = K \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} ~\vec{u}_{1 \to 2}\)
b. forces d'interaction gravitationnelles s'exerçant entre deux masses ponctuelles:
\(\overrightarrow{F}_{1\to2} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} ~\vec{u}_{1 \to 2}\)
Solution
a. Le coefficient \(K\) s'écrit : \(K = Fr^2 / (q_ 1q_ 2), \textrm{dim }K = \textrm{dim }(Fr^2) / \textrm{dim }(q_ 1q_ 2)\) or comme
\(\textrm{dim }(Fr^{2}) = \textrm{dim }F \times \textrm{dim }(r^{2}) = L^{3}MT^{-2}\)
et
\(\textrm{dim }(q_1q_2) = (TI)^2\)
donc \(\textrm{dim }K = L^{3}MT^{-2} / T^{2}I^2 = L^{3}MT^{-4}I^{-2}\) ( 4 points )
b. Le coefficient \((-G)\) s'écrit : \(-G = Fr^2 / m_{1}m_{2}\) , comme \(\textrm{dim }(m_{1}m_{2}) = M^{2}\), on en déduit:
\(\textrm{dim }(-G) = \textrm{dim }(Fr^2) / \textrm{dim }(m_{1}m_{2}) = L^{3}MT^{-2}/M^{2} = L^{3}M^{-1}T^{-2}\) ( 4 points )
Remarque :
Le coefficient \(K = \frac{1}{4~ \pi ~\varepsilon_{0}}\) permet de retrouver \(\textrm{dim } \varepsilon_{0} = \frac{1}{\textrm{dim }K} = L^{-3}M^{-1}T^{4}I^{2}\)
Le coefficient \(G\) est la constante de gravitation \(G =\mathrm{ 6,67260} ~. ~10^{-11} \textrm{ m}^{3}\textrm{kg}^{-1}\textrm{s}^{-2}\)