Vecteurs

Par élévation au carré de la relation précédente nous avons :

\(4 ~{\overrightarrow{AI}}^{2} = \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)^{2}\)

\(= {\overrightarrow{AB}}^{2} + {\overrightarrow{AC}}^{2} + 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}  = c^{2} + b^{2} + 2bc \cos \hat{A}\) ( 4 points )

sachant que \(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos \hat{A}\) on en déduit :

\(\begin{array}{ll} 4 {AI}^{2} & = c^{2} + b^{2} + (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \\ & = 2 b^{2} + 2c^{2} - a^{2} \end{array}\)

Des relations analogues pour les autres médianes conduisent à :

\(\begin{array}{ll} 4 {BJ}^{2} & = c^{2} + a^{2} + (c^{2} + a^{2} - b^{2}) \\ & = 2 a^{2} + 2c^{2} - b^{2} \end{array}\)

\(\begin{array}{ll} 4 {CK}^{2} & = a^{2} + b^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \\ & = 2 a^{2} + 2b^{2} - c^{2} \end{array}\)

d'où

\(4 \left({AI}^{2} + {BJ}^{2} + {CK}^{2} \right)= 3\left(a^{2} + b^{2} + c^{2}\right)\)

et

\({AI}^{2} + {BJ}^{2} + {CK}^{2} = \frac{3}{4} \left(a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)\) ( 4 points )