Question 3
Durée : 6 mn
Note maximale : 12
Question
Déterminer en degrés l'angle \(\alpha = \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\). Discussion.
Solution
L'utilisation de la norme du produit vectoriel conduit au \(\sin \alpha\):
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert \times \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert \sin \alpha\)
comme \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \sqrt{259}\), \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{26}\) et \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \sqrt{10}\) il vient :
\(\sin \alpha = \frac{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert}{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert \times \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert} = \frac{\sqrt{259}}{\sqrt{26}\sqrt{10}} = \mathrm{0,998}\) ( 2 + 2 points )
donc \(\alpha = 86,44 ^{\circ}\) ( 2 points ) ou \(\alpha = 93,56 ^{\circ}\) ( 2 points )
Remarque :
La détermination de \(\alpha\) en utilisant la norme du produit vectoriel conduit à 2 valeurs de \(\alpha\) par inversion des sinus. ( 4 points )