Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 8

Question

Dans un repère orthonormé direct \(\left(O; \vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\), nous avons les trois vecteurs :

\(\overrightarrow{AB} = (1,-5,0),\) \(\overrightarrow{AC} = (-1,0,-3)\) et \(\overrightarrow{AD} = (-3,-5,-4)\)

Définir le produit mixte \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\) de deux façons différentes.

Solution

Par définition, nous avons :

\(\begin{array}{ll}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) &= \overrightarrow{AB} \cdot \left(\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AD}\right) \\\\ & = \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right) \cdot \overrightarrow{AD} \end{array}\) ( 4 + 4 points )

Dans un produit mixte, on garde l'ordre des trois vecteurs mais on peut changer les signes \(\cdot\) et \(\wedge\) . Le résultat est un scalaire.