Loi de composition interne
Définition :
On appelle loi de composition interne \(\ast \)dans un ensemble \(E\), une application de \(E^{2}\) dans \(E\), qui à tout couple \((a,b)\) de \(E^{2}\) fait correspondre un élément unique \(c = a \ast b\) de \(E\).
Notation de l'ensemble \(E\) muni de la loi \(\ast \): \((E, \ast )\).
Exemple :
L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne dans \(N\), \(Z\) \(Q\) et \(R\).
La somme géométrique est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de \(R^{2}\) et \(R^{3}\).
Le produit vectoriel est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs de \(R^{3}\) ( et non de \(R^{2}\)).
Propriété :
Associativité
\(\forall ~(a,b,c) \in E^{3} : a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c\)
Exemples :
Associativité dans \(N\), \(Z\) , \(Q\) et \(R\) pour l'addition et la multiplication
Non association du produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de \(R^{3}\) :
\(\overrightarrow{v_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{v_{2}} \wedge \overrightarrow{v_{3}}\right) \ne \overrightarrow{v_{1}}\wedge \left(\overrightarrow{v_{2}}\wedge\overrightarrow{v_{3}}\right)\)
Commutativité
\(\forall(a, b) \in E^2 : a \ast b = b \ast a\)
Exemples :
Commutativité dans \(N\), \(Z\) , \(Q\) et \(R\) pour l'addition et la multiplication
Non commutativité du produit vectoriel dans l'ensemble des vecteurs de \(R^{3}\) :
\(\overrightarrow{v_{1}}\wedge\overrightarrow{v_{2}}\ne\overrightarrow{v_{2}}\wedge\overrightarrow{v_{1}} = -\left(\overrightarrow{v_{1}}\wedge\overrightarrow{v_{2}}\right)\)
Distributivité à gauche : \(\forall(a,b,c) \in E^{3} : a\ast (b \circ c) = (a\ast b) \circ (a\ast c)\)
Distributivité à droite : \(\forall(a,b,c) \in E^{3} : (b \circ c)\ast a = (b\ast a) \circ (c\ast a)\)
Si la loi \(\ast \)est distributive à gauche et à droite par rapport à la loi \(\circ\), elle est dite distributive.
Exemple : Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans \(\mathbb{R}\) :
\(a ( b + c) = ab + ac\)
Élément neutre
\(\forall ~a \in E : a \ast e = e \ast a = a\)
\(e\) est l'élément neutre pour la loi \(\ast \). Si \(e\) existe il est unique
Exemples : Dans \(\mathbb{R}\), \(0\) est l'élément neutre pour l'addition ; \(1\) est l'élément neutre pour la multiplication.
Éléments symétriques
\(\forall~a \in E, \exists ~a' \in E : a\ast a' = a' \ast a = e\)
\(a'\) : élément symétrique de a pour la loi \(\ast\)
Exemples : dans \(\mathbb{R}\), \(a\) et \(-a\) sont symétriques (opposés) pour l'addition. Dans \(\mathbb{R}^{\ast }\), \(a\) et \(1/a\) sont symétriques (inverses) pour la multiplication.
Éléments réguliers
\(\forall~a \in E \begin{array}{l} a\ast b = a\ast c \Rightarrow b=c \\ b\ast a = c\ast a \Rightarrow b = c \end{array}\)
Exemples :
Dans \(\mathbb{R},\) tout élément \(a\in \mathbb{R}\) est régulier pour l'addition:\(a + b = a + c \Rightarrow b = c\).
Dans \(\mathbb{R},\) \(0\) n'est pas régulier pour la multiplication car \(0 \cdot b = 0\cdot c\) n'entraîne pas \(b = c\)
Non régularité du produit vectoriel car \(\overrightarrow{v_{1}}\wedge\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{1}}\wedge\overrightarrow{v_{3}}\) n'entraîne pas \(\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{3}}\).