Groupe
Définition :
on appelle groupe, tout ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(\ast\) possédant les propriétés suivantes:
Associativité : \(\forall (a, b , c) \in E^{3}, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\)
Élément neutre : \(\forall a \in E, (a \ast e) = (e \ast a) = a\) , \(e\) est l'élément neutre
Élément symétrique : \(\forall a \in E , \exists ~a' \in E, (a \ast a') = (a' \ast a) = e\), \(a'\) est l'élément symétrique
Le groupe est dit commutatif ou abélien si la loi \(\ast \)vérifie :
Commutativité : \(\forall (a, b) \in E^{2} : (a \ast b) = (b \ast a)\)
Exemple :
Groupe additif : Groupe abélien dans lequel l'opérateur est noté \((+)\).
L'élément neutre est noté \(0\).
Le symétrique de a est appelé opposé de a est noté \(-a\).
Le composé de \(2\) éléments a et b est appelé somme et noté \(a + b = b + a\).
Groupe multiplicatif : Groupe abélien (ou non abélien) dans lequel l'opérateur est noté \((\times)\) ou \((\cdot)\) ( ou sans aucun signe)
L'élément neutre est noté \(1\).
Le symétrique de \(a\) est appelé inverse et noté \(1/a\).
Le composé de \(2\) éléments \(a\) et \(b\) est appelé produit et noté \(a \times b\) ou \(a \cdot b\) ou \(ab\).
Si le groupe n'est pas abélien \(ab \ne ba\).
Propriété :
Tout élément d'un groupe est régulier
\(\forall (a, b , c) \in E^{3}\) et \(\begin{array}{ll} a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c \\ b \ast a = c \ast a \Rightarrow b = c \end{array}\) simplification
Quels que soient \(a\) et \(b\), l'équation \(a \ast x = b\) admet une solution unique
\(\begin{array}{ll} a \ast x = b \Rightarrow x = a' \ast b \\ x \ast a = b \Rightarrow x = b \ast a\end{array}\) \(a'\) : symétrique de \(a\)
Exemples :
Pour un groupe additif de \(\mathbb{R}\) : \(a + x = b x = (-a) +b\)
Pour un groupe multiplicatif de \(\mathbb{R}^{\ast }\) : \(a x = b \Rightarrow x = a^{-1} b\)