Nombres complexes

Associativité \(\forall~(\underline{z}, \underline{z}' , \underline{z}'')\in \mathbb{C}^{3} : ( \underline{z} + \underline{z}') + \underline{z}'' = \underline{z} +( \underline{z}' + \underline{z}'')\)

Commutativité \(\forall~ (\underline{z}, \underline{z}' )\in \mathbb{C}^{2} : \underline{z} + \underline{z}' = \underline{z}' + \underline{z}\)

Élément neutre \(\forall~ \underline{z} \in \mathbb{C} : \underline{z} + (0,0) = \underline{z} \left[ (0,0)  \textrm{ est l'\'el\'ement neutre } \right]\)

Élément symétrique \(\forall~ \underline{z} \in \mathbb{C} , \exists ~\underline{z}' \in \mathbb{C} : \underline{z} + \underline{z}' = (0,0) \)

\(\left[\underline{z}' = -\underline{z} = (-a, -b) \textrm{ est l'oppos\'e de } \underline{z}\right]\)

\(\mathbb{C}\) est un groupe commutatif pour l'addition.

Associativité \(\forall~(\underline{z}, \underline{z}' , \underline{z}'')\in \mathbb{C}^{3} : ( \underline{z} \cdot \underline{z}') \cdot \underline{z}'' = \underline{z} \cdot( \underline{z}' \cdot \underline{z}'')\)

Commutativité \(\forall~ (\underline{z}, \underline{z}' )\in \mathbb{C}^{2} : \underline{z} \cdot \underline{z}' = \underline{z}' \cdot \underline{z}\)

Élément neutre \(\forall~ \underline{z} \in \mathbb{C} : \underline{z} \cdot (1,0) = \underline{z} \left[ (1,0)  \textrm{ est l'\'el\'ement neutre } \right]\)

Élément symétrique \(\forall~ \underline{z} \in \mathbb{C}^{*} , \exists ~\underline{z}' \in \mathbb{C} :\)

\(\underline{z} \cdot \underline{z}' = (1,0)~\Big[\underline{z}'=\left(\frac{a}{a^{2} + b^{2}} , - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}\right) \textrm{ est l'inverse de }\underline{z}\Big]\)

\(\mathbb{C}^{*}\) est un groupe commutatif pour la multiplication.