Nombres complexes

Soient \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\)

Par application de la formule de Moivre :

\(\left(\cos \theta + j \sin \theta \right)^{n} = \cos n \theta + j \sin n \theta\)

et de la formule du binôme de Newton :

\((a+b)^{n} = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} C_{n}^{k}~a^{n-k} ~b^{k} = a^{n} + C_{n}^{1}~ a^{n-1}b + ... + C_{n}^{k}~a^{n-k}b^{k}+...+C_{n}^{n-1} ~a~ b^{n-1} + b^{n}\)

avec \(C_{n}^{k} = \frac{n !}{k !~ (n-k) !}\) et \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}\), nous obtenons :

\(\cos n \theta + j \sin n \theta =\left(\cos \theta + j \sin \theta \right)^{n}  = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} C_{n}^{k} \cos ^{n-k} \theta j^{k} \sin^{k} \theta\)

L'identification des parties réelles et imaginaires conduit à :

\(\cos n \theta = \textrm{Re} \left[\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} C_{n}^{k} \cos ^{n-k} \theta j^{k} \sin^{k} \theta\right] = \cos ^{n}\theta - C_{n}^{2} \cos^{n-2} \theta ~\sin^{2} \theta+ C_{n}^{4} \cos^{n-4} \theta ~\sin^{4}\theta...\)

\(\sin n \theta = \textrm{Im} \left[\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} C_{n}^{k} \cos ^{n-k} \theta j^{k} \sin^{k} \theta\right] = C_{n}^{1} \cos^{n-1} \theta ~\sin \theta - C_{n}^{3} \cos^{n-3}\theta ~\sin^{3} \theta + C_{n}^{5} \cos ^{n-5} \theta \sin^{5} \theta ...\)

L'expression de la \(\tan n\theta\) s'obtient, pour les valeurs \(n \theta \ne (1/2)(2k+1) \pi, k \in\mathbb{Z}\) par le rapport: