Linéarisation de cosnθ sinpθ

Pour linéariser \(\cos^{n}\theta ~\sin^{p}\theta\) on peut :

  • Soit utiliser les formules d'Euler de \(\cos \theta\) et \(\sin \theta\) , développer par

    la formule du binôme, réduire et regrouper les termes \(e^{jk\theta}\) et \(e^{-jk\theta}\) puis utiliser à nouveau les formules d'Euler, sous la forme :

    \(e^{jk\theta} + e^{-jk\theta} = 2 \cos k \theta\)

    \(e^{jk\theta} - e^{-jk\theta} = 2 j\sin k \theta\)

Exemple

Linéarisation de \(\cos^{3} \theta \sin^{2}\theta\)

Appliquons les formules d'Euler :

\(\cos^{3}\theta = \left(\frac{e^{j\theta} + e^{-j \theta}}{2}\right)^{3} = \frac{1}{2^{3}} \left(e^{j3\theta} + 3 e^{j \theta} + 3 e^{-j \theta} + e^{-j3\theta} \right)\)

\(\sin^{2}\theta = \left(\frac{e^{j\theta} - e^{-j \theta}}{2j}\right)^{2} = \frac{-1}{2^{2}} \left(e^{j2\theta} - 2 + e^{-j 2\theta} \right)\)

d'où :

\(\begin{array}{ll}\cos^{3}\theta \sin^{2}\theta &= \frac{-1}{2^{5}} \left(e^{j3\theta} + 3 e^{j\theta} + 3e^{-j\theta} + e^{-j3\theta}\right)\left(e^{j2\theta} - 2 + e^{-j2\theta}\right) \\ &= \frac{-1}{2^{5}} \left(e^{j5\theta} + e^{-j5\theta} + e^{j3\theta}+ e^{-j3\theta} -2 \left(e^{j\theta} + e^{-j \theta} \right)\right)\end{array}\)

\(\cos^{3}\theta \sin^{2}\theta = \frac{-1}{16} \left(\cos 5 \theta + \cos 3 \theta - 2 \cos \theta \right)\)

  • Soit linéariser \(\cos^{n}\theta\) et \(\sin^{p}\theta\) , effectuer les produits et linéariser les termes obtenus par l'utilisation des formules trigonométriques transformant les produits en sommes.

    \(\cos a \cos b = \frac{1}{2} \left[\cos(a+b) + \cos(a-b)\right]\)

    \(\sin a \sin b = -\frac{1}{2} \left[ \cos (a+b) - \cos(a-b) \right]\)

    \(\sin a \cos b = \frac{1}{2} \left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]\)

Exemple

Linéarisation de \(\cos^{3}\theta \sin^{2}\theta\)

Linéarisation :

\(\cos^{3} \theta= \frac{1}{2^{3}} \left(e^{j3\theta} + e^{-j3\theta} + 3 \left(e^{j\theta} + e^{-j \theta} \right)\right) = \frac{1}{4} \left(\cos 3 \theta + 3 \cos \theta\right)\)

\(\sin^{2}\theta = \frac{-1}{2^{2}} \left(e^{j2\theta} - 2 + e^{-j2\theta} \right) = \frac{1}{2} \left(1-\cos 2 \theta\right)\)

d'où :

\(\begin{array}{ll}\cos^{3} \theta \sin^{2}\theta &= \frac{1}{8} \left(\cos 3 \theta + 3 \cos \theta\right)\left(1-\cos 2 \theta \right) \\ & = \frac{1}{8} \left(\cos 3\theta + 3 \cos \theta - \cos 3 \theta \cos 2 \theta - 3 \cos \theta \cos 2 \theta \right) \end{array}\)

or comme :

\(\cos 3 \theta \cos 2 \theta = \frac{1}{2} \left(\cos 5 \theta + \cos \theta \right)\)

et \(\cos 2 \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \left(\cos 3 \theta + \cos \theta \right)\)

nous obtenons :

\(\cos^{3}\theta \sin^{2} \theta = \frac{1}{8} \left(\cos 3 \theta + 3 \cos \theta - \frac{1}{2}(\cos 5 \theta + \cos \theta) - \frac{3}{2} \left(\cos 3 \theta + \cos \theta \right)\right)\)

\(\cos^{3} \theta \sin^{2}\theta = \frac{-1}{16} \left(\cos 5 \theta + \cos 3 \theta - 2 \cos \theta \right)\)

  • Le passage par les formules d'Euler n'est pas obligatoire pour linéariser de tels polynômes car pour des valeurs de \(n\) et \(p\) pas très élevées, les formules élémentaires de trigonométrie donnent le résultat.

Exemple

Linéarisation de \(\cos^{3}\theta \sin^{2}\theta\)

Transformons cette expression :

\(\begin{array}{ll}\cos^{3}\theta \sin^{2}\theta &= \cos \theta (\cos \theta \sin \theta )^{2} = \cos \theta \left(\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)^{2} \\\\ & = \frac{1}{4} \cos \theta \left(\frac{1 - \cos 4 \theta}{2}\right) = \frac{1}{8} (\cos \theta - \cos \theta \cos 4 \theta )\\\\ & = \frac{1}{8} \left(\cos\theta - \frac{1}{2} (\cos 5 \theta + \cos 3 \theta) \right) \end{array}\)

\(\cos^{3} \theta \sin^{2} \theta = \frac{-1}{16} ( \cos 5 \theta + \cos 3\theta - 2 \cos \theta )\)