Nombres complexes

Le but de la linéarisation est d'exprimer \(\cos^{n}\theta\) , \(\sin^{n}\theta\) ou plus généralement \(\cos^{n}\theta ~\sin^{p}\theta\) comme une somme de termes \(a \cos q \theta\)ou \(b \sin q\theta\) ( \(a\), \(b\) réels et \(n\), \(p\) et \(q\) entiers naturels).

Cette transformation facilite l'intégration de ces polynômes trigonométriques.

Soient \(\theta \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\), \(\underline{z} = \cos \theta + j \sin \theta = e^{j\theta}\)

Le conjugué de \(\underline{z}\) s'exprimant par \(\underline{z}^{\ast} = \cos \theta - j \sin \theta = e^{-j \theta} = \frac{1}{\underline{z}}\)

l'application de la formule de Moivre conduit à :

Nous obtenons

d'une part \(\left\{\begin{array}{ll} 2 \cos \theta = \underline{z} + \frac{1}{\underline{z}} \\ 2 j \sin \theta = \underline{z} - \frac{1}{\underline{z}} \end{array} \right.\) (1)

et d'autre part \(\left\{\begin{array}{ll} 2 \cos n \theta = \underline{z}^{n} + \frac{1}{\underline{z}^{n}} \\ 2 j \sin n \theta = \underline{z}^{n} - \frac{1}{\underline{z}^{n}} \end{array} \right.\) (2)

Le système (1) permet de déterminer \(\cos^{n}\theta\) et \(\sin^{n}\theta\) par les relations :

\(2^{n} \cos^{n} \theta = \left(\underline{z} + \frac{1}{\underline{z}} \right)^{n} \Leftrightarrow \cos^{n}\theta = \frac{1}{2^{n}}\left(\underline{z} + \frac{1}{\underline{z}} \right)^{n}\)

\(2^{n} j^{n} \sin^{n} \theta = \left(\underline{z} - \frac{1}{\underline{z}} \right)^{n} \Leftrightarrow \sin^{n}\theta = \frac{1}{2^{n}j^{n}}\left(\underline{z} - \frac{1}{\underline{z}} \right)^{n}\)

Soit \(\varepsilon \in \{-1,1\}\), la formule du binôme de Newton fournit le développement suivant :

\(\left(\underline{z} + \frac{\varepsilon}{\underline{z}} \right)^{n} = \displaystyle{\sum^{n}_{k=0}}C_{n}^{k} ~\underline{z}^{n-k}~ \frac{\varepsilon^{k}}{\underline{z}^{k}} = \displaystyle{\sum^{n}_{k=0}}C_{n}^{k} ~\underline{z}^{n-2k} \varepsilon^{k}\)

Compte tenu de la propriété \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}\) on en déduit :

\(\left( \underline{z} + \frac{\varepsilon}{\underline{z}}\right)^{n} = \left( \underline{z}^{n} + \frac{\varepsilon^{n}}{\underline{z}^{n}}\right) + C_{n}^{1} \left(\varepsilon \underline{z}^{n-2} + \frac{\varepsilon^{n-1}}{\underline{z}^{n-2}}\right) + C_{n}^{2}\left(\varepsilon^{2} \underline{z}^{n-4} + \frac{\varepsilon^{n-2}}{\underline{z}^{n-4}}\right)+...\)

Comme \(\varepsilon = \pm 1\)

\(\left( \underline{z} + \frac{\varepsilon}{\underline{z}}\right)^{n} = \left( \underline{z}^{n} + \frac{\varepsilon^{n}}{\underline{z}^{n}}\right) + \varepsilon ~C_{n}^{1} \left(\underline{z}^{n-2} + \frac{\varepsilon^{n}}{\underline{z}^{n-2}}\right) + \varepsilon^{2}C_{n}^{2}\left( \underline{z}^{n-4} + \frac{\varepsilon^{n}}{\underline{z}^{n-4}}\right)+...\)

Il s'en suit

• linéarisation de \(\cos^{n}\theta\) et de \(\sin^{n}\theta\)

• linéarisation de \(\cos^{n}\theta ~\sin^{p}\theta\)