Définition de l'exponentielle de x
La fonction ln réalisant une bijection de \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) sur \(\mathbb{R}\), admet une fonction réciproque, appelée fonction exponentielle ( de base \(\textrm{ e }\)) et notée exp ( ou \(\textrm{e}^{x}\)).
\(\forall (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}^{\ast}, y = \exp x \Leftrightarrow x = \ln y\)
Définition :
Comme la fonction \(\ln\) est bijective de \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) sur \(\mathbb{R}\), il existe \(x_0 \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\) tel que \(\ln x_{0} = 1\). Ce nombre \(x_0 \in ]1,+∞[\) vérifie la propriété suivante :
\(\forall x \in \mathbb{R},~ \ln x_{0}^{x} = x \ln x_{0} = x\)
Ce nombre \(x_{0}\) irrationnel est désigné par \(\textrm{e}\) \((\textrm{e} \approx \mathrm{2,718} ..)\) et est appelé la base du logarithme népérien, donc \(\ln \textrm{ e} = 1\).
\(\forall x \in \mathbb{R},~ \ln \textrm{ e}^{x} = x\)