Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

exp est une bijection strictement croissante de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\)

\(\forall x \in \mathbb{R} \quad \ln(\exp x) = x\)

\(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\quad \exp (\ln x) = x\)

\(\exp ~0 = 1\) puisque \(\ln 1 = 0\)

\(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{2}\quad \exp (a+b) = (\exp a) \times (\exp b)\)

Calculons \(\ln (\exp (a + b))\) :

\(\ln (\exp (a+b))\)

\(= a + b\)

\(= \ln (\exp a) + \ln (\exp b)\)

\(= \ln [ (\exp a) \times (\exp b)]\)

Cette propriété est semblable à celle des exposants :

\(\forall (m,n) \in \mathbb{R}^{2} ~a^{m+n} = a^{m} \times a^{n}\)

on pose \(\forall x \in \mathbb{R}, \exp x = \textrm{e}^{x}\), alors

\(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{2} \quad \textrm{e}^{a+b} = \textrm{e}^{a} \times \textrm{e}^{b} \qquad\) (1)

Justification de la notation \(\exp x = \textrm{e }^{x}\)

Puisque \(\forall x \in \mathbb{Q}\), \(\ln \textrm{ e}^{x} = x\), la composition sur \(\mathbb{Q}\) des fonctions \(f\) : \(x \to \textrm{ e}^{x}\) et \(g\) : \(x \to \ln x\) conduit à :

\(\forall x \in \mathbb{Q} (g \circ f)(x) = (\ln o f)(x) = I_{d}(x) = x\)

donc sur \(\mathbb{Q}\) la fonction \(f\) : \(x \to \textrm{ e}^{x}\) est la fonction réciproque de la fonction \(\ln\) et vérifie la propriété :

\(\forall (x,y) \in \mathbb{Q}^{2}, f(x + y) = f(x) \times f(y) [ \textrm{ e}^{x+y }= \textrm{ e}^{x} \times \textrm{e}^{y}]\)

Il s'ensuit que sur \(\mathbb{Q}\), les fonctions \(\exp\) et \(f\) coïncident (unicité sur \(\mathbb{Q}\) de la fonction réciproque de \(\ln\)), et comme \(\exp\) vérifie la propriété : \(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}\), \(\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)\) analogue à celle des exposants, nous utiliserons la notation \(\textrm{e}^{x}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

d'où :

\(\forall(a,b)\in \mathbb{R}^{2}\quad \textrm{e}^{a-b} = \frac{\textrm{e}^{a}}{\textrm{e}^{b}} \quad\) (2)

En effet,

\(\ln\left(\textrm{e}^{a-b}\right) = a-b = \ln \textrm{e}^{a} - \ln \textrm{e}^{b} = \ln \frac{\textrm{e}^{a}}{\textrm{e}^{b}}\)

\(\forall ~b \in \mathbb{R} \qquad \textrm{e}^{-b} = \frac{1}{\textrm{e}^{b}}\)

Pour \(a = 0\), la relation (2) conduit à :

\(\textrm{e}^{-b} = \frac{\textrm{e}^{0}}{\textrm{e}^{b}} = \frac{1}{\textrm{e}^{b}}\)

\(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{2} \quad \left(\textrm{e}^{a}\right)^{b} = \textrm{e}^{ab}\)

En effet,

\(\ln \left(\textrm{e}^{a}\right)^{b}\)

\(= b ~\ln \left(\textrm{e}^{a}\right)\)

\(= ab \ln \textrm{ e}\)

\(= ab\)

\(= \ln ~(\textrm{e}^{ab})\)

\(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast} , ~\forall a_{i} \in \mathbb{R} \qquad \textrm{e}^{\sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}} = \displaystyle{\prod_{i=1}^{n} \textrm{e}^{a_i}}\)

Cas particulier : \(a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = a \in \mathbb{R}\)

si \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\) :

\(\textrm{e}\underbrace{ ^{(a + a + ... + a )}}_{n \textrm{ fois}} = \underbrace{ \textrm{e}^{a} \times \textrm{e}^{a} \times ... \times \textrm{e}^{a}}_{n \textrm{ fois}}\)

\(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \forall a \in \mathbb{R} \qquad \textrm{e}^{n a} = \left(\textrm{e}^{a}\right)^{n}\)

Exemple : \(\textrm{e}^{2\sqrt{3}} = \left(\textrm{e}^{\sqrt{3}}\right)^{2} \quad \left(n=2 ~\textrm{ et }~ a=\sqrt{3} \right)\)

Par une étude similaire à celle des logarithmes nous aurons :

\(\forall n \in \mathbb{Z} \textrm{ ou } \mathbb{Q} \textrm{ ou } \mathbb{R} \textrm{ et } \forall a \in \mathbb{R} \quad \textrm{e}^{na} = {(\textrm{e}^{a})}^{n}\)