Étude de la fonction e x
Cette partie comprend l'étude de la fonction \(\textrm{e}^{x}\) et des fonctions composées \(\textrm{e}^{u(x)}\) et \(\textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert}\) selon les rubriques suivantes :
Domaine de définition \(D_f\) de \(\textrm{e}^{x}\) et Étude de \(\textrm{e}^{x}\) aux bornes de \(D_f\)
Fonctions dérivées : \((\textrm{e}^{x})'\) et \((\textrm{e}^{x})''\).
Tableau de variation et graphe de \(\textrm{e}^{x}\)
Étude de la fonction composée :\(\textrm{e}^{u(x)}\)
Étude de la fonction composée : \(\textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert}\)
Domaine de définition - Étude aux bornes
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de \(\textrm{e}^{x}\) est symétrique de celle de \(\ln\) par rapport à la 1ère bissectrice.
Domaine de définition \(D_f\) de \(\textrm{ e}^{x}\)
La fonction \(\exp\) réciproque de la fonction \(\ln\) est définie, dérivable (donc continue) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Étude de \(\textrm{e}^{x}\) aux bornes de \(D_f = \mathbb{R}\)
Les limites aux bornes de \(D_f\) de la fonction \(\textrm{e}^{x}\) se déduisent de celles de la fonction \(\ln\) d'où :
\(\displaystyle{\lim_{x \mapsto -\infty}\textrm{e}^{x} = 0^{+}}\)
et la droite d'équation \(y = 0\) (axe des abscisses \(x'x)\) est asymptote à la courbe représentative de \(\textrm{e}^{x}\) quand \(x \to - \infty\) .
\(\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty}\textrm{e}^{x} = + \infty}\)
et comme \(\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{\textrm{e}^{x}}{x} = +\infty}\), cette courbe admet une branche parabolique dans la direction \((y'y)\) quand \(x \to +\infty\) .
Fonctions dérivées
La fonction \(\textrm{e}^{x}\) est dérivable ( et donc continue) sur \(\mathbb{R}\) comme étant la réciproque de \(\ln\) dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) et
\(\forall x \in \mathbb{R} \quad \left(\textrm{e}^{x}\right)' = \frac{1}{\ln'\left(\textrm{e}^{x}\right)}\) or \(\forall y \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \quad \ln' y = \frac{1}{y}\)
d'où
\(\forall x \in \mathbb{R} \qquad \left(\textrm{e}^{x}\right)' = \textrm{e}^{x}\)
La fonction dérivée de la fonction exponentielle de base e est égale à cette fonction.
Comme \(\textrm{e}^{x}\) est une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) , \(\textrm{e}^{x}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) .
Au point \(x = 0\), \({\left(\textrm{e}^{x}\right)'}_{x = 0} = \textrm{e}^{0} = 1\) et la tangente à la courbe au point \((0,1)\) a pour coefficient directeur \(1.\)
Cette tangente est donc parallèle à la 1ère bissectrice des axes dans un repère orthonormé.
De plus, par définition de la dérivée \(\textrm{e}^{x}\) en \(x = 0\) et du fait que \({\left(\textrm{e}^{x}\right)'}_{x = 0} = 1\) nous avons :
\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\textrm{e}^{x} - \textrm{e}^{0}}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{\textrm{e}^{x} - 1}{x} = {\left(\textrm{e}^{x}\right)'}_{x=0} = 1}\)
donc \(\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{e}^{x} - 1}{x} = 1}\), d'où \(\textrm{e}^{x} \approx 1 + x\) quand \(x \to 0\)
Par dérivation de \(\left(\textrm{e}^{x}\right)'\) sur \(\mathbb{R}\) : \(\left(\textrm{e}^{x}\right)'' = \left(\textrm{e}^{x}\right)' = \textrm{e}^{x} > 0\), la fonction \(\textrm{e}^{x}\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) .
Tableau de variation - Graphe
Fonction composée eu(x)
Ensemble de définition \(D_f\)
La fonction \(f(x) = \textrm{e}^{u(x)}\) existe si \(u(x)\) existe et \(u(x) \in \mathbb{R}\), d'où
\(D_f = \left\{x \in D_u, ~u(x) \in \mathbb{R}\right\} \Rightarrow D_f = D_u\)
Exemple :
\(f : x\mapsto \textrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-3}} \textrm{ existe } \Leftrightarrow x-3 \ne 0 \textrm{ et } \frac{x+1}{x-3} \in \mathbb{R}\)
d'où \(D_{f} = D_{u} = \{x \in \mathbb{R} - \{3\}\}\) ou \(x \in \left]-\infty ; 3\right[ \cup \left]3 ;+\infty\right[\)
Limite de \(f\) aux bornes de \(D_f\)
Dans le cas d'une fonction composée si \(x_{0}\) est une borne de \(D_f\) : si \(\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}}u(x) = l}\)
alors \(\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}} \textrm{e}^{u(x)} = \lim_{u(x_{0})\to l} \textrm{e}^{u(x)}}=\left\{\begin{array}{llll} \textrm{e}^{l} \textrm{ si } l \in \mathbb{R} \\ 0^{+} \textrm{ si } l=-\infty \\ +\infty \textrm{ si } l = + \infty \end{array}\right.\)
Exemple :
\(f : x\mapsto \textrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-3}} ~\textrm{ avec } \quad u(x) = \frac{x+1}{x-3} ~\textrm{ avec } \quad D_{f} = \left]-\infty ;3\right[ \cup \left]3 ;+\infty\right[\)
Étude en \(-\infty :\)
On a \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} u(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x} = 1}\) soit \(X = \frac{x+1}{x-3}\)
donc \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \textrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-3}} = \lim_{X\to 1} \textrm{e}^{X} = \textrm{e}}\)
Étude en \(3^{-} :\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to 3^{-}} u(x) = - \infty}\) d'où \(\displaystyle{\lim_{u(x)\to -\infty}\textrm{e}^{u(x)} = 0}\)
Etude semblable quand \(x \to 3^{+}\) et quand \(x \to +\infty\) .
Dérivabilité de f
Si \(u(x)\) est dérivable, alors \(\textrm{e}^{u}\) est dérivable sur \(D_f = D_u\) et
\(\forall x \in D_f : f '(x) = u'(x)~ \textrm{e}^{u(x)}\)
Exemple :
\(f : x\mapsto \textrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-3}} ~\textrm{ d\'efinie sur } D_{f} = \left]-\infty ;3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[\)
et comme \(u(x) = \frac{x+1}{x-3}\) est dérivable sur \(\mathbb{R} - \{3\}\)
donc \(\forall x \in D_{f} : f'(x) = u'(x) \textrm{e}^{u(x)} = \frac{-4}{(x-3)^{2}} \textrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-3}}\)
Remarque :
Comme \(\textrm{e}^{u(x)} > 0 ~\forall x \in D_{f}\) , \(f '(x)\) a sur \(D_f\) le signe de \(u'(x)\) qui dans cet exemple est négatif.
Donc \(f '(x) < 0\) pour \(x \in \left] -\infty ; 3 \right[ \cup \left] 3; +\infty \right[\) .
Fonction composée e|u(x)|
Ensemble de définition \(D_g\)
La fonction \(g(x) = \textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert}\) existe si \(u(x)\) existe et \(u(x) \in \mathbb{R}\) d'où
\(D_g = \{x \in D_u, ~u(x) \in \mathbb{R}\} \Rightarrow D_g = D_u\)
Exemple :
\(g : x\mapsto \textrm{e}^{\left\arrowvert\tfrac{x+1}{x-3}\right\arrowvert} \textrm{ existe } \Leftrightarrow x-3 \ne 0 \textrm{ et } \frac{x+1}{x-3} \in \mathbb{R}\)
d'où \(D_{g} = D_{u} = \{x \in \mathbb{R} - \{3\}\}\) ou \(x \in \left]-\infty ; 3\right[ \cup \left]3 ;+\infty\right[\)
Limite de \(g\) aux bornes de \(D_g\)
La valeur absolue modifie simplement le signe des valeurs négatives de \(u(x)\) et certaines limites de \(g\) par rapport aux limites de \(f\) : \(x \to \textrm{e}^{u(x)}\)
Exemple :
\(g : x\mapsto \textrm{e}^{\left\arrowvert\tfrac{x+1}{x-3}\right\arrowvert} ~\textrm{ avec } \quad u(x) = \frac{x+1}{x-3}\)
Étude en \(3^{-}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to 3^{-}} u(x) = - \infty}\Rightarrow \displaystyle{\lim_{x\to 3^{-}} \arrowvert u(x)\arrowvert = + \infty}\)
et \(\displaystyle{\lim_{u(x)\to +\infty}\textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert} =+ \infty}\)
Dérivabilité de \(g\)
La valeur absolue n'étant pas dérivable en \(0\), nous noterons \(D_{u^{\ast}}\) le domaine de dérivabilité de \(u(x)\).
si \(u(x) > 0\), \(g(x) = \textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert} = \textrm{e}^{u(x)}\) et \(g'(x) = u'(x) \textrm{ e}^{u(x)}\)
si \(u(x) < 0\), \(g(x) = \textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert} = \textrm{e}^{-u(x)}\) et \(g'(x) = -u'(x) \textrm{ e}^{-u(x)}\)
Contrairement à la fonction \(\ln\arrowvert u(x)\arrowvert\) , la fonction \(\textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert}\) n'a pas :
le même domaine de dérivabilité que \(\textrm{e}^{u(x)}\) car \(D_{u^{\ast}} = D_u - \{x \in \mathbb{R} ; u(x) = 0\}\)
la même fonction dérivée que \(\textrm{e}^{u(x)}\) puisqu'il faut envisager les cas \(u(x) > 0\) et \(u(x) < 0\) pour calculer \(g'(x)\).
Exemple :
\(g : x\mapsto \textrm{e}^{\left\arrowvert\tfrac{x+1}{x-3}\right\arrowvert}= \textrm{e}^{\arrowvert u(x)\arrowvert} \textrm{ avec } ~ u(x) = \frac{x+1}{x-3}\)
avec \(D_{u} = \left]-\infty ;3\right[ \cup \left]3 ;+\infty\right[ \textrm{ et } D_{u^{\ast}} = D_{u} - \left\{-1 \right\}\)
Pour \(x \in \left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]3 ;+\infty\right[ \quad u(x) >0 ~\textrm{ et }~ g'(x) = \frac{-4}{(x-3)^{2}} \textrm{ e}^{\tfrac{x+1}{x-3}}\)
Pour \(x \in \left]-1 ; 3\right[ \qquad u(x) <0 ~\textrm{ et }~ g'(x) = \frac{+4}{(x-3)^{2}} \textrm{ e}^{-\left(\tfrac{x+1}{x-3}\right)}\)