Exponentielles

Partie

Question

Déterminer les limites des fonctions suivantes :

a. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x) \textrm{ si }  f(x) = \frac{e^{2x}-2 e^{x} + 1}{1- \cos x}}\)

b. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x) \textrm{ si }  g(x) = (2x^{2} + 1)e^{-(x+1)^{2}}}\)

c. \(\displaystyle{\lim_{x \to -2} h(x) \textrm{ si }  h(x) = (x+2) e^{\tfrac{x+1}{x+2}}}\)

Question

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation d'inconnue \(x\) : \(2e^{2x} - 2 e^{x+1} - e^{x} + e = 0 \quad (E)\)

Question

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante d'inconnue \(x\) : \(3^{2x+5} - 3 ^{x+3} - 18 = 0\)

Question

Exprimer les fonctions dérivées des fonctions suivantes pour \(X \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\).

\(y_{1} = x^{x} ; ~y_{2} = \sqrt[x]{x} ;~ y_{3} = \left(x^{x}\right)^{x} ; ~y_{4} = x^{\left(x^{x}\right)} ;~ y_{5} = e^{\left(x^{x}\right)} ;~ y_{6} = x^{\ln x}\)