Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-2 e^{x} + 1}{1- \cos x} = 2}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} (2 x^{2} + 1) ~e^{-(x+1)^{2}} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to -2} (x+2) e^{\tfrac{x+1}{x+2}} = 0^{+} \textrm{ quand } x \to (-2)_{+} \textrm{ ou } - \infty \textrm{ quand } x \to (-2)_{-}}\)

a. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)} \quad \textrm{ si } f(x) = \frac{e^{2x}-2 e^{x} + 1}{1- \cos x} \quad \Bigg(\textrm{forme :} \frac{0}{0} \Bigg)\)

\(f(x) = \frac{\left( e^{x} - 1\right)^{2}}{1- \cos x} = \left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^{2} \frac{x^{2}}{1-\cos x} = \left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right)^{2} \frac{x^{2}}{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}\)

\(= \left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^{2} \frac{4}{2} \left(\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^{2} = 2 \left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right)^{2}\left(\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^{2}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)} = 2 \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right)^{2} \times \displaystyle{\lim_{x \to 0} }\left(\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^{2} = 2 \times 1^{2} \times 1^{2} = 2\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)} = 2\)

b. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x)} \quad \textrm{si } g(x) = \left(2 x^{2} + 1 \right) e^{-(x+1)^{2}} \quad (\textrm{forme : } 0 \times \infty )\)

\(g(x) = \frac{2 x^{2} + 1}{e^{(x+1)^{2}}} = \frac{(x+1)^{2}}{e^{(x+1)^{2}}} \frac{2 x^{2} + 1}{(x+1)^{2}}\)

En posant \(X=x+1\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)^{2}}{e^{(x+1)^{2}}}}= \displaystyle{\lim_{x \to +\infty } \frac{X}{e^{X}} = 0 ~(\textrm{car}} \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x} = +\infty ) \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(x+1)^{2}} = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{2 x^{2}}{x^{2}} = 2}}}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)^{2}}{e^{(x+1)^{2}}} \times \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^{2} + 1}{(x+1)^{2}} = 0 \times 2 = 0}}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x)} =0\)

c. \(\displaystyle{\lim_{x \to -2} h(x)} \quad \textrm{si } h(x) = (x+2) ~e^{\tfrac{x+1}{x+2}}\)

1er cas : \(x \to (-2)_{+} \quad \displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{+}} \frac{x+1}{x+2} = -\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{+} } e^{\tfrac{x+1}{x+2}}}} = 0^{+}\)

comme \(\displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{+}} (x+2) = 0^{+}} \textrm{ on a } \displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{+}} h(x) = 0^{+}}\)

2ème cas : \(x \to (-2)_{-} \quad \displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{-}} \frac{x+1}{x+2} = +\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{-} } e^{\tfrac{x+1}{x+2}}}} = +\infty\)

Transformons la forme de \(h(x)\) pour lever l'indétermination \((0 \times \infty)\).

\(h(x) = e^{\tfrac{x+1}{x+2}} (x+2) = e^{\tfrac{x+1}{x+2}} \frac{(x+2)}{(x+1)} (x+1) = \frac{e^{\tfrac{x+1}{x+2}}}{\frac{x+1}{x+2}} (x+1) = \frac{e^{X}}{X}(x+1)\)

en posant \(X = \frac{x+1}{x+2} \textrm{ avec } X \to + \infty \textrm{ quand } x \to (-2)_{-}\)

d'où : \(\displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{-}} h(x)} = \left(\displaystyle{\lim_{X \to +\infty} \frac{e^{X}}{X}}\right)\left(\displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{-}} (x+1)}\right) = (-1)(+\infty) = -\infty\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to (-2)_{-}} h(x) = - \infty}\)

Après changement de variable \(X = e^{x}\) nous obtenons l'équation

\(2 X^{2} - (2e + 1)X + e = 0\) qui admet pour solution \(X_{1} = e \textrm{ et } X_{2} = 1/2\) d'où les solutions de \((E)\) : \(x_{1} = 1 \textrm{ et } x_{2} = - \ln 2\)

Après avoir fait le changement de variable \(X = e^{x}\) dans \((E)\) nous obtenons l'équation :

\(2X^{2} - (2 e + 1)X + e = 0\) qui admet pour discriminant :

\(\Delta = (2 e + 1)^{2} - 4 \times 2 \times e = 4 e^{2} - 4 e + 1 = \left[\pm (2e-1)\right]^{2}\)

d'où les racines :

\(X_{1} = \frac{+(2e + 1)+(2e-1)}{4} = \frac{4 e}{4} = e \textrm{ et } x_{1} = \ln e = 1\)

\(X_{2} = \frac{+(2e + 1)-(2e-1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \textrm{ et } x_{2} = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2\)

L'équation \((E)\) admet pour solutions \(x_{1} = 1 \textrm{ et } x_{2} = -\ln 2\)

Par le changement de variable \(X = 3^{x}\) nous avons l'équation : \(27X^{2} - 3X - 2 = 0\) qui admet pour solution acceptable \(X = 1/3\) d'où la solution : \(x=-1\)

Modifions l'équation proposée afin de faire apparaître une équation du second degré en \(X = 3^{x}\).

\(3^{2x+5} - 3^{x+3} - 18 = 0 \Leftrightarrow 3^{5}3^{2x} - 3^{3}3^{x} - 2 \times 3^{2} = 0\)

Après simplification par \(3^{2}\), nous posons \(X=3^{X} \left(X \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \right)\) d'où :

\(3^{3} X^{2} - 3X-2 = 0 \Leftrightarrow 27 X^{2} - 3X - 2 = 0\)

Cette équation admet pour discriminant :

\(\Delta = (-3)^{2} - 4(27)(-2) = 9+216 = 225 = (\pm 15)^{2}\)

d'où les racines :

\(X_{1} = \frac{+3+15}{2 \times 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}>0\)

\(X_{2} = \frac{+3-15}{2 \times 27} = \frac{-12}{54} = \frac{-2}{9}<0\)

Seule \(X_{1} = \frac{1}{3}\) vérifie la condition \(X\in \mathbb{R}_{+}^{\ast}\), d'où la solution de l'équation : \(\frac{1}{3} = 3^{x} \Leftrightarrow 3^{-1} = 3^{x} \Leftrightarrow x=-1\)

Fonctions dérivées :

\(y_{1}' = x^{x}(1+\ln x)\) ; \(y_{2}' = \sqrt[x]{x} \frac{1- \ln x}{x^{2}}\) ; \(y_{3}' = x^{x^{2}+1}(1+2 \ln x)\) ; \(y'_{4} = x^{x^{x}} x^{x} \left(\frac{1}{x} + \ln x + \ln^{2} x \right)\) ; \(y_{5}' = e^{x^{x}}(1+ \ln x) x^{x}\) ; \(y_{6}' = x^{\ln x - 1} \ln x^{2}\)

Calcul des fonctions dérivées :

\(y_{1} = x^{x} = e^{x\ln x} = e^{w_{1}(x)} \textrm{ avec } w_{1}(x) = x \ln x\)

d'où \(w_{1}'(x) = \ln x + \frac{x}{x} = 1 + \ln x\) \(\textrm{ et }\) \(y_{1}' = \left(x^{x}\right)' = x^{x}(1+\ln x)\)

\(y_{2} = \sqrt[x]{x} = x^{\tfrac{1}{x}} = e^{\tfrac{1}{x}\ln x} = e^{w_{2}(x)} \textrm{ avec } w_{2} (x) = \frac{1}{x} \ln x\)

d'où \(w_{2}'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \ln x + \frac{1}{x} \frac{1}{x} = \frac{1-\ln x}{x^{2}} \textrm{ et }y_{2}' = \left(\sqrt[x]{x}\right)' = \sqrt[x]{x} \frac{1-\ln x}{x^{2}}\)

\(y_{3} = \left(x^{x}\right)^{x} = x^{x^{2}} = e^{x^{2} \ln x} = e^{w_{3}(x)} \textrm{ avec } w_{3} (x) = x^{2} \ln x\)

d'où \(w_{3}'(x) = 2x \ln x + x^{2} \frac{1}{x} = x(1+2 \ln x) \textrm{ et } y_{3}' = \left[\left(x^{x}\right)^{x}\right]' = x^{x^{2}} x(1+2 \ln x) = x^{x^{2}+1}(1+2 \ln x)\)

\(y_{4} = x^{\left(x^{x}\right)} = e^{x^{x}\ln x} = e^{w_{4}(x)} \textrm{ avec } w_{4}(x) = x^{x} \ln x\)

d'où \(w_{4}'(x) = \left(x^{x}\right)' \ln x + x^{x}\left(\ln x \right)' = x^{x} (1+ \ln x) \ln x + x^{x} \frac{1}{x} = x^{x} \left(\frac{1}{x} + \ln x + \ln^{2} x\right)\)

et \(y_{4}' = \left[x^{\left(x^{x}\right)}\right]' = x^{\left(x^{x}\right)} x^{x} \left(\frac{1}{x} + \ln x + \ln^{2} x\right)\)

\(y_{5} = e^{x^{x}} = e^{w_{5}(x)} \textrm{ avec } w_{5}(x) = x^{x}\)

d'où \(w'_{5}(x) = \left(x^{x}\right)' = x^{x} (1+\ln x) \textrm{ et } y_{5}' = e^{x^{x}} x^{x} (1+ \ln x)\)

\(y_{6} = x^{\ln x} = e^{\ln x \ln x} = e^{\ln^{2}x} = e^{w_{6}(x)} \textrm{ avec } w_{6}(x) = \ln^{2} x\)

d'où \(w'_{6}(x) = 2 \ln x \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \ln x^{2} \textrm{ et } y_{6}' = x^{\ln x} \frac{1}{x} \ln x^{2} = x^{\ln x - 1} \ln x^{2}\)