Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

• Domaine de définition : \(D_{f} = ]0 ;+\infty[\)

• Etude aux limites de \(D_{f}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} f(x)= 1} ; \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}\)

Existence d'une branche parabolique de direction \(Oy\).

• Fonction dérivée : \(f'(x) = x^{x}(1+\ln x) \textrm{ min} \left(1/e ,~ e^{-1/e}\right)\)

• Graphe de f à inserer

Pour \(x>0\), la fonction \(f(x)\) prend la forme : \(f(x) = x^{x} = e^{x\ln x}\)

a. Domaine de définition est \(D_{f} = ]0 ; +\infty[\)

b. Etude aux limites du domaine \(D_{f}\)

• quand \(x\to 0^{+} , x\ln x\to 0^{-} \textrm{ et } e^{x \ln x} \to 1\) on a : \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 1}\)

• quand \(x \to +\infty, x \ln x \to +\infty \textrm{ et } e^{x \ln x} \to +\infty\) on a : \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}\)

Existence d'une branche parabolique car :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}} =\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x \ln x}}{x}}=\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x\ln x}}{x \ln x}\cdot\ln x}\)

\(= \displaystyle{\lim_{X \to +\infty} \frac{e^{X}}{X}} \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty}\) ( en posant \(X=x \ln x\))

Branche parabolique de direction \(Oy\).

c. Fonction dérivée \(f'(x)\)

\(f'(x) = \left(x^{x}\right)' = \left(e^{x \ln x}\right)' = e^{x \ln x} (x \cdot \ln x)' = e^{x \ln x} \left(x \frac{1}{x} + 1 \cdot \ln x \right) = x^{x} (1+\ln x)\)

d'où \(f'(x) =0 \textrm{ pour } \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e \approx \mathrm{0,36} \textrm{ et } f(1/e) = e^{-1/e} \approx \mathrm{0,69}\)

\(f'(0) = -\infty \textrm{ car } x^{x} = e^{x \ln x} \to 1 \textrm{ quand } x \to 0^{+} \textrm{ et } (1+ \ln x) \to -\infty\)

d. Tableau de variations ( Au point la tangente est verticale )

tableau à inserer

e. Graphe de f

( remettre le graphe de )

Domaine de définition : \(D_{g} = ]0, +\infty[\)

Etude aux limites de \(D_{g}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} g(x) = 0} ; \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1}\)

Existence d'une asymptote horizontale d'équation \(y=1\)

Fonction dérivée : \(g'(x) = x^{1/x} \cdot \frac{1}{x^{2}} (1-\ln x) \textrm{ max} \left(e, e^{1/e} \right)\)

Graphe de à inserer

Nous poserons pour \(x>0\), la fonction \(g(x)\) sous la forme \(g(x) = e^{\tfrac{1}{x} \ln x}\)

a. Domaine de définition : \(D_{g} = ]0 ;+\infty[\)

b. Etude aux limites du domaine \(D_{g}\).

quand \(x \to 0^{+}, \frac{1}{x} \to +\infty, \ln x \to -\infty, \frac{1}{x} \ln x \to -\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} e^{\tfrac{1}{x} \ln x} = 0}\)

quand \(x \to +\infty, \frac{1}{x} \to 0^{+}, \ln x \to +\infty, \frac{1}{x} \ln x \to 0^{+} \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} e^{\tfrac{1}{x} \ln x} = 1}\)

La courbe admet la droite d'équation \(y = 1\) comme asymptote horizontale.

c. Fonction dérivée \(g'(x)\)

\(g'(x) = \left(x^{1/x}\right)' = \left(e^{\tfrac{1}{x}\ln x}\right)' = e^{\tfrac{1}{x} \ln x}\left({\frac{1}{x} \ln x}\right)' = e^{\tfrac{1}{x} \ln x} \left( - \frac{1}{x^{2}} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\right)\)

et \(g'(x) = x^{1/x} \cdot \frac{1}{x^{2}} (1-\ln x)\) d'où \(g'(x) = 0 \textrm{ pour } 1= \ln x \Rightarrow x = e \approx \mathrm{2,7}\) et \(g(e) = e^{1/e} \approx \mathrm{1,44}\)

d. Tableau de variations :

à inserer

e. Graphe de à inserer

• Domaine de définition : \(D_{h} = ]-\infty ;0[ \cup ]0 ;+\infty[\)

• Etude aux limites de \(D_{h}\): \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0_{-}} ;\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0_{+}}\)

  \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} h(x) = 0} ; \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} = +\infty}\)

• Existence d'une asymptote horizontale et verticale

• Fonction dérivée : \(h'(x) = - \frac{x+1}{x^{3}} e^{1/x} \Big[\textrm{ min} : \left(-1,-1/e\right)\Big]\)

• Graphe de h : ( inserer graphe )

• Domaine de définition :

La fonction \(h(x)\) est définie sur \(\mathbb{R}^{\ast}\): \(D_{h} = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ;+\infty[\)

• Etude aux limites de \(D_{h}\): Quand \(x \to -\infty, \frac{1}{x} \to 0_{-} , e^{1/x} \to 1 \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0_{-}}\)

Quand \(x \to +\infty, \frac{1}{x} \to 0_{+} , e^{1/x} \to 1 \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0_{+}}\)

Existence d'une asymptote horizontale d'équation : \(y = 0\) ( axe des abscisses )

Quand \(x\to 0^{+}, \frac{1}{x} \to +\infty, e^{1/x} \to +\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = +\infty}\)

Existence d'une asymptote verticale d'équation :\(x = 0\) ( axe des ordonnées )

Quand \(x\to 0^{-}\), posons \(X = \frac{-1}{x}\to +\infty\)

et \(y = \frac{1}{x} e^{1/x} = -Xe^{-X} = -\frac{X}{e^{X}} \textrm{ avec } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{X}{e^{X}} = 0_{+}}\) d'où \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} h(x) = 0_{-}}\)

• Fonction dérivée \(g'(x)\)

\(h'(x) = \left(\frac{1}{x} e^{1/x}\right)' =-\frac{1}{x^{2}} e^{1/x} + \frac{1}{x} \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) e^{1/x} = -\frac{x+1}{x^{3}} e^{1/x}\)

d'où \(h'(x) = 0 \textrm{ pour }x = -1 \textrm{ et }h(-1) = -1/e \approx -\mathrm{0,37}\)

La fonction admet un extremum au point \(\left(-1,-1/e\right)\).

Tangente au point d'arrêt \(0\) :

Déterminons le coefficient directeur de la tangente à la courbe quand \(x\to 0^{-}\):

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} \frac{h(x)}{x}} = \displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}} e^{1/x} }=\displaystyle{\lim_{X \to +\infty}X^{2} e^{-X}}=\displaystyle{\lim_{X \to +\infty} \frac{X^{2}}{e^{X}} \left(\textrm{ en posant }X = -\frac{1}{x}\right)}\)

d'où \(\ln \frac{h(x)}{x} = \ln \frac{X^{2}}{e^{X}} = 2 \ln X - X = -X \left(1-2\frac{\ln X}{X}\right)\)

avec \(\frac{\ln X}{X} \to 0 \textrm{ quand } X\to +\infty ( x\to 0^{-})\)

et par conséquent : \(\displaystyle{\lim_{X \to 0^{-}} \frac{h(x)}{x}} = \displaystyle{\lim_{X \to +\infty} \frac{\ln X}{X} = -\infty}\) d'où \(\frac{h(x)}{x} \to 0 \textrm{ quand } x \to 0^{-}\)

La demi-tangente en \(0\) à la courbe est la demi-droite \(0x'\).

Tableau de variations inserer tableau

Graphe inserer grap h e