Interaction atomique
Partie
Question
On suppose que la force centrale, interagissant entre deux atomes \(A\) et \(B\) distants de \(r\) est de la forme :
\(\vec{F} = \left(\frac{\alpha}{r^{13}} - \frac{\beta}{r^{7}}\right)\vec{u}\)
où \(\vec{u}\) est le vecteur unitaire sur l'axe \(\overrightarrow{AB}\), \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes positives.
Déterminer l'énergie potentielle d'interaction \(E_p\) de ce système à 2 atomes.
Aide simple
Chercher la relation entre \(F\), module de la force, et l'énergie potentielle \(E_p\) du système.
Aide détaillée
La force dérive d'un potentiel et nous permet d'écrire \(F = -\frac{d~ E_{p}}{ d~ r}\). Par intégration de \((-F)\) nous obtenons \(E_p\).
Solution simple
Par intégration nous avons :
\(E_{p} = \int -F dr = \frac{\alpha}{12 r^{12}} - \frac{\beta}{6 r^{6}}\) \((\textrm{cste} = 0)\)
Solution détaillée
La force \(F\) derivant de \(E_p\), nous donne :
\(E_{p} = \int - F dr = \int \frac{\alpha}{r^{13}} dr - \int \frac{\beta}{r^{7}}dr\)
\(E_{p} = \frac{\alpha}{12 r^{12}} - \frac{\beta}{6 r^{6}} + C\)
la constante est nulle car \(E_{p}(\infty) = 0\).
d'où
\(E_{p}(r) = \frac{\alpha}{12 r^{12}} - \frac{\beta}{6 r^{6}}\)
Question
Calculer la distance d'équilibre \(r_{0}\) entre les deux atomes et la valeur de \(E_{p}(r_{0})\).
Aide simple
Condition exigée par \(\vec{F}\) ou \(E_{p}\) à l'équilibre ?
Aide détaillée
A l'équilibre le module \(F\) de la force est nul et l'énergie potentielle \(E_p\) est minimale.
Solution simple
A l'équilibre :
\(F = -\frac{d E_{p}}{dr} = 0 \Rightarrow r_{0} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/6}\)
et calculer :
\(E_{p}(r_{0}) = \frac{\beta^{2}}{12 \alpha} = E_{0}\)
Solution détaillée
Puisque le module de la force est nul, alors :
\(F = -\frac{d E_{p}}{d r} = \frac{\alpha}{r_{0}^{13}} - \frac{\beta}{r_{0}^{7}} = 0\Rightarrow r_{0} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/6}\)
et l'énergie d'interaction sera :
\(E_{p}(r_{0}) = \frac{\alpha}{12 r_{0}^{12}} -\frac{\beta}{6 r_{0}^{6}} = \frac{\alpha \beta^{2}}{12 \alpha^{2}} - \frac{\beta^{2}}{6 \alpha} = \frac{-\beta^{2}}{12 \alpha}\)
Pour visualiser à quoi correspond la distance d'équilibre : ICI[1].
Question
Quelle énergie doit on fournir, aux deux atomes initialement immobiles, à la distance \(r_0\), pour les séparer ?
Aide simple
Pour \(A\) fixé, l'atome \(B\) doit s'éloigner à l'infini.
Aide détaillée
A la distance \(r_0\), l'atome \(B\) a pour énergie \(E_0 < 0\).
Solution simple
Energie à fournir : \(\frac{\beta^{2}}{12 \alpha}\) pour amener l'atome du niveau \(E_0\) à l'énergie qu'il aurait à l'infini.