Formules de transformation somme - produit
Posons \(\left\{\begin{array}{lll} p = a+b \\ q = a-b \end{array}\right.\) c'est à dire \(\left\{\begin{array}{lll} a = \frac{p+q}{2}\\ b = \frac{p-q}{2}\end{array}\right.\)
D'après les formules de transformation : produit \(\to\) somme, nous tirons :
\(\boxed{{\qquad\cos p +\cos q = 2 \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2}\quad\\ ~\qquad\cos p -\cos q = -2 \sin \frac{p+q}{2} \sin\frac{p-q}{2}\\ ~\qquad \sin p +\sin q = 2 \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \\ ~\qquad\sin p -\sin q = 2 \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2}\quad}}\)
En appliquant la définition des fonctions tangente et cotangente, nous obtenons :
\(\boxed{{\qquad\tan p +\tan q = \frac{\sin p}{\cos p} + \frac{\sin q}{\cos q} = \frac{\sin(p+q)}{\cos p \cos q}\quad\\ ~\qquad\tan p -\tan q = \frac{\sin p}{\cos p} - \frac{\sin q}{\cos q} = \frac{\sin(p-q)}{\cos p \cos q}\\ ~\qquad \textrm{cotan }p +\textrm{cotan }q = \frac{\cos p}{\sin p} + \frac{\cos q}{\sin q} = \frac{\sin(p+q)}{\sin p \sin q} \\ ~\qquad\textrm{cotan }p -\textrm{cotan }q = \frac{\cos p}{\sin p} - \frac{\cos q}{\sin q} = \frac{\sin(p-q)}{\sin p \sin q}\quad}}\)