Dérivées - Différentielles

Quand \(y = cste,\) \(z_1\) est de la forme d'une fonction puissance \(x^n,\) et si \(x = cste,\) \(z_1\) est une fonction exponentielle \(a^y=e^{y\ln a}\)avec \(a > 0,\) d'où :

\(\color{blue}\frac{\delta z_1}{\delta x}=yx^{y-1}~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)

et

\(\frac{\delta z_1}{\delta y}=e^{y\ln x}\ln x\)

\(\color{blue}\frac{\delta z_1}{\delta y}=x^y\ln x~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)

La fonction \(z_2\) est de la forme \(\arctan u\) ayant pour fonction dérivée : \((\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2},\) ainsi :

\(\frac{\delta z_2}{\delta x}=\frac{(\frac{y}{x})'}{1+(\frac{y}{x})^2}\) soit \(\color{blue}\frac{\delta z_2}{\delta x}=\frac{-y}{x^2+y^2}~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)

et

\(\frac{\delta z_2}{\delta y}=\frac{(\frac{y}{x})'}{1+(\frac{y}{x})^2}\) soit \(\color{blue}\frac{\delta z_2}{\delta y}=\frac{x}{x^2+y^2}~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)