Question 3

Durée : 8 mn

Note maximale : 9

Question

La capacité d'un condensateur sphérique dans le vide est donnée par : \(C=4\pi\zeta_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.\)

  • Si \(R_1\) augmente, comment évolue la capacité.

  • En posant \(e = R_2 - R_1,\) montrer que l'on peut retrouver le résultat du condensateur plan.

Solution

Calculons, pour \(R_2\) constant, la différentielle de la capacité en fonction de \(R_1\) :

\(\color{blue}dC\color{black}=4\pi\zeta_0[\frac{(R_2-R_1)R_2+R_1R_2}{(R_2-R_1)^2}]dR_1=\color{blue}4\pi\zeta_0\frac{R_2^2}{(R_2-R_1)^2}dR_1~~\color{red}\textrm{(4 points)}\)

Si \(R_1\) augmente, \(dR_1 > 0\) et \(C\) augmente. \(\color{red}\textrm{(2 points)}\)

En posant : \(e = R_2 - R_1 \Rightarrow de = - dR_1\) et \(S = 4\pi R_2^2\) d'où

\(\color{blue}dC=-\zeta_0\frac{S}{e^2}de~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)