Question 2

Durée : 5 mn

Note maximale : 6

Question

Montrer que, si l'objet et l'écran restent fixes \((p + p' = D),\) l'erreur commise sur \(f\) est minimum pour \(p = D/2.\)

Solution

Si \(p + p' = D \Rightarrow p' = D - p\) et \(dp' = - dp\) d'où en portant dans l'expression de \(df\) nous obtenons :

\(\color{blue}df\color{black}=\frac{(D-p)^2}{D^2}dp+\frac{p^2(-dp)}{D^2}=\frac{(D^2-2pD+p^2-p^2)}{D^2}dp=\color{blue}\frac{D-2p}{D}dp~~\color{red}\textrm{(4 points)}\)

L'erreur sur \(f\) est minimum si \(df = 0 \Rightarrow D - 2p = 0 \Rightarrow\color{blue}p=\frac{D}{2} ~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)