L'intégrale simple

Les calculs de dérivées effectués dans les chapitres précédents nous permettent de dresser le tableau suivant

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline Ensemble de définition & Fonction f(x) & Primitive F(x)+C ~~(C : constante)\\\hline \mathbb R& 0 & C\\\hline \mathbb R&a (cste)&ax+C\\\hline\mathbb R&x^n~~(n\in\mathbb N^*)&\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\\hline\mathbb R^*&x^n~~(n\in\mathbb Z-\{-1\})&\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\\hline\mathbb R^*&\frac{1}{x}&\ln|x|+C\\\hline\mathbb R_+^*&x^{\alpha}~~(\alpha\in\mathbb R-\{-1\})&\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\\\hline\mathbb R&e^x&e^x+C\\\hline\mathbb R&a^x~~(n\in\mathbb R_+^*-\{-1\})&\frac{1}{\ln a}a^x+C \\\hline\end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline Ensemble de dénition & Fonction f(x) & Primitive F(x)+C~~(C :constante)\\\hline\mathbb R&\sin x&-\cos x+C\\\hline\mathbb R&\sin(\omega x+\varphi)&-\frac{1}{\omega}\cos(\omega x+\varphi)+C\\\hline\mathbb R&\cos x&\sin x + C\\\hline\mathbb R&\cos(\omega x + \varphi)&\frac{1}{\omega}\sin(\omega x+\varphi)+C\\\hline\mathbb R-\{k\pi ;k\in\mathbb Z\}&\frac{1}{\sin x}&\ln|\tan\frac{x}{2}|+C\\\hline\mathbb R-\{(2k+1)\pi/2 ;k\in\mathbb Z\}&\frac{1}{\cos x}&\ln|\tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C\\\hline\mathbb R-\{k\pi ;k\in\mathbb Z\}&\frac{1}{\sin^2x}=1+\textrm{cotan}^2x&-\textrm{cotan}x+C\\\hline\mathbb R-\{(2k+1)\pi/2 ;k\in\mathbb Z\}&\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x&\tan x+C\\\hline\mathbb R-\{(2k+1)\pi/2 ;k\in\mathbb Z\}&\tan x&-\ln|\cos x|+C\\\hline\mathbb R-\{k\pi ;k\in\mathbb Z\}&\textrm{cotan} x&\ln|\sin x|+C\\\hline\mathbb R-\{(2k+1)\pi/2 ;k\in\mathbb Z\}&\tan^2x&\tan x-x+C\\\hline\mathbb R-\{k\pi ;k\in\mathbb Z\}&\textrm{cotan}^2x&-\textrm{cotan}x-x+C\\\hline\mathbb ]-1 ;1[&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&\arcsin x+C\\\hline\mathbb ]-1 ;1[&\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}&\arccos x+C\\\hline\mathbb R&\frac{1}{1+x^2}&\arctan x+C\\\hline\mathbb R&\frac{-1}{1+x^2}&\textrm{arccotan} x+C\\\hline\end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline Ensemble de dénition & Fonction f(x) & Primitive F(x)+C~~(C :constante)\\\hline\mathbb R&\textrm{sh}x&\textrm{ch}x+C\\\hline\mathbb R&\textrm{ch}x&\textrm{sh}x+C\\\hline\mathbb R^*&\frac{1}{\textrm{sh}x}&\ln|\textrm{th}\frac{x}{2}|+C\\\hline\mathbb R&\frac{1}{\textrm{ch}x}&2\arctan e^x+C\\\hline\mathbb R^*&\frac{1}{\textrm{sh}^2x}=\textrm{coth}^2x-1&-\textrm{coth}x+C\\\hline\mathbb R&\frac{1}{\textrm{ch}^2x}=1-\textrm{th}^2x&\textrm{th}x+C\\\hline\mathbb R&\textrm{th}x&\ln(\textrm{ch}x)+C\\\hline\mathbb R^*&\textrm{coth}x&\ln|\textrm{sh}x|+C\\\hline\mathbb R&\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}&\begin{cases}\textrm{argsh}x+C\\\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C\end{cases}\\\hline\mathbb ]1 ;+\infty[&\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}&\begin{cases}\textrm{argch}x+C\\\ln(x+\sqrt{x^2-1})+C\end{cases}\\\hline\mathbb ]-\infty ;-1[&\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}&\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C\\\hline\mathbb ]-1 ;1[&\frac{1}{1-x^2}&\begin{cases}\textrm{arcth}x+C\\\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}+C\end{cases}\\\hline\mathbb ]-\infty ;-1[\cup]1 ;+\infty[&\frac{1}{1-x^2}&\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C\\\hline\end{array}\)