Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 8

Question

Soit l'équation différentielle: \(y'' - 2 \lambda~y' + y = e^{x} + cos{(x)}\) (\(\lambda\) paramètre).

Résoudre cette équation dans le cas où \(λ = -1\).

Solution

L'équation caractéristique \(\color{blue} r^{2} - 2\lambda r + 1 = 0 \quad \textcolor{red}{( 2~\textrm{points} )}\) admet le discriminant réduit \(\Delta ' = \lambda^{2} - 1\), et les racines sont: \(r= +\lambda \pm \sqrt{\lambda^{2} -1}\).

Cas où \(\lambda = -1\).

Le discriminant réduit a pour valeur \(\Delta ' = 0\) et la racine double est \(r = -1\), donc \(y_{H} = \Big( K_{1}x + K_{2} \Big)e^{-x}\) et en posant la solution particulière \(y_{p} = \lambda e^{x} + a \cos{x} + b \sin{x}\) de l'équation complète;

après identification, il vient : \(y = y_{H} + y_{p}\),

\(\color{blue} y = \Big( K_{1}x + K_{2} \Big)e^{-x} + \frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{2} \sin{(x)} \quad \color{black} \forall K_{1}, K_{2} \in \mathbb{R}^{2} \qquad \color{red} ( 2 + 2 + 2~\textrm{points})\)