Équations différentielles du 2ème ordre

L'équation caractéristique $\color{blue} r^{2} - 2\lambda r + 1 = 0 \quad \textcolor{red}{( 2~\textrm{points} )}$ admet le discriminant réduit $\Delta ' = \lambda^{2} - 1$, et les racines sont: $r= +\lambda \pm \sqrt{\lambda^{2} -1}$.

Cas où $\lambda = -1$.

Le discriminant réduit a pour valeur $\Delta ' = 0$ et la racine double est $r = -1$, donc $y_{H} = \Big( K_{1}x + K_{2} \Big)e^{-x}$ et en posant la solution particulière $y_{p} = \lambda e^{x} + a \cos{x} + b \sin{x}$ de l'équation complète;

après identification, il vient : $y = y_{H} + y_{p}$,

$\color{blue} y = \Big( K_{1}x + K_{2} \Big)e^{-x} + \frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{2} \sin{(x)} \quad \color{black} \forall K_{1}, K_{2} \in \mathbb{R}^{2} \qquad \color{red} ( 2 + 2 + 2~\textrm{points})$