Question 2
Durée : 5 mn
Note maximale : 86
Question
Soit l'équation différentielle: \(y'' - 2 \lambda~y' + y = e^{x} + cos{(x)}\) (\(\lambda\) paramètre).
Résoudre cette équation dans le cas où \(λ = 0\).
Solution
Cas où \(\lambda = 0\).
Le discriminant réduit a pour valeur \(\Delta ' = -1\) et les racines sont \(r \pm j\), donc \(y_{H} = K_{1} \cos{(x)} + K_{2} \sin{(x)}\), et en posant la solution particulière \(y_{p} = µ e^{x} + x \Big( c \cos{x} + d \sin{x} \Big)\).
après dérivation et identification, il vient : \(µ = \frac{1}{2} ; c = 0 ; d = \frac{1}{2}\), d'où \(y = y_{H} + y_{p}\).
\(\color{blue} y = K_{1} \cos{(x)} + K_{2} \sin{(x)} + \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} x \sin{(x)} \quad \color{black} \forall K_{1}, K_{2} \in \mathbb{R}^{2} \qquad \color{red} ( 2 + 2 + 2~\textrm{points})\)