Question 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 6
Question
Soit l'équation différentielle: \(y'' - 2 \lambda~y' + y = e^{x} + cos{(x)}\) (\(\lambda\) paramètre).
Résoudre cette équation dans le cas où \(λ = 1\).
Solution
Cas où \(\lambda = 1\).
Le discriminant réduit a pour valeur \(\Delta ' = 0\) et la racine est \(r = 1\), donc \(y_{H} = \Big( K_{1} x + K_{2} \Big) e^{x}\), et en posant la solution particulière \(y_{p} = \alpha x^{2} e^{x} + f \cos{x} + g \sin{x}\).
après identification, il vient \(y = y_{H} + y_{p}\).
\(\color{blue} y = \Big( K_{1} x + K_{2} \Big) e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{x} + \frac{1}{2} \sin{(x)} \quad \color{black} \forall K_{1}, K_{2} \in \mathbb{R}^{2} \qquad \color{red} ( 2 + 2 + 2~\textrm{points})\)