Puissance de matrice

Partie

Question

Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3& 1 & 0\end{pmatrix}\),

calculer \(A^{2}\) et \(A^{3}\).

Aide simple

Pour faire la multiplication, positionner les matrices suivant le schéma classique.

Aide détaillée

Effectuer les produits suivants :

\(\color{blue}[A^{2}] = [A]~\textrm{x}~[A]\)

\(\color{blue}[A^{3}] = [A^{2}]~\textrm{x}~[A]\)

Solution simple

Un calcul classique des produits de matrices conduit aux résultats suivants :

\(A^{2} = \begin{pmatrix} 10 & 3 & 3 \\ 3 & 10 & 3 \\ 3 & 3 & 10 \end{pmatrix}\)

et

\(A^{3} = \begin{pmatrix} 19 & 12 & 33 \\ 12 & 33 & 19 \\ 33 & 19 & 12 \end{pmatrix}\)

Solution détaillée

Calculons \(A^{2} = A × A\) en positionnant les matrices sous la forme suivante :

\(\color{red} A^{2} = \begin{pmatrix} 10 & 3& 3 \\ 3 & 10 & 3 \\ 3 & 3& 10\end{pmatrix}\)

Calculons \(A^{3} = A^{2} × A\) en positionnant les matrices sous la forme suivante :

\(\color{red} A^{3} = \begin{pmatrix} 19 & 12 & 33 \\ 12 & 33 & 19 \\ 33 & 19 & 12 \end{pmatrix}\)