Relation matricielle
Partie
Question
Montrer qu'il existe 3 nombres \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que :
\(A^{3} = \alpha I + \beta A + \gamma A^{2}\).
Aide simple
Ecrire cette relation sous forme matricielle.
Aide détaillée
Identifier trois équations parmi les neuf pour déterminer les coefficients \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).
Solution simple
La résolution des trois équations conduit aux coefficients :
\(\alpha = -28\), \(\beta = 7\) et \(\gamma = 4\).
Solution détaillée
L'équation matricielle indique que \(I\) est la matrice unité d'ordre 3.
La relation matricielle sera :
\(\begin{pmatrix} 19 & 12 & 33 \\ 12 & 33 & 19 \\ 33 & 19 & 12 \end{pmatrix} = \alpha~\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} + \beta~\begin{pmatrix} 1 & 0 &3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 0\end{pmatrix} + \gamma~\begin{pmatrix} 10 & 3 & 3 \\ 3 & 10 & 3 \\ 3 & 3 & 10\end{pmatrix}\)
Par identification, de trois équations parmi les neufs, de ce système, nous obtenons pour la 1ère colonne :
\(\begin{array}{r c l} 19 & = & \alpha + \beta + 10 \gamma \\ 12 & = & 3\gamma \\ 33 & = & 3\beta + 3\gamma \end{array} \left\} \color{blue} \begin{array}{l} \alpha = -28 \\ \beta = 7 \\ \gamma = 4 \end{array} \right.\)
d'où \(\color{red}A^{3} = -28 I + 7 A + 4 A^{2}\)