Relation matricielle

Partie

Question

Montrer qu'il existe 3 nombres \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que :

\(A^{3} = \alpha I + \beta A + \gamma A^{2}\).

Aide simple

Ecrire cette relation sous forme matricielle.

Aide détaillée

Identifier trois équations parmi les neuf pour déterminer les coefficients \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).

Solution simple

La résolution des trois équations conduit aux coefficients :

\(\alpha = -28\), \(\beta = 7\) et \(\gamma = 4\).

Solution détaillée

L'équation matricielle indique que \(I\) est la matrice unité d'ordre 3.

La relation matricielle sera :

\(\begin{pmatrix} 19 & 12 & 33 \\ 12 & 33 & 19 \\ 33 & 19 & 12 \end{pmatrix} = \alpha~\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} + \beta~\begin{pmatrix} 1 & 0 &3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 0\end{pmatrix} + \gamma~\begin{pmatrix} 10 & 3 & 3 \\ 3 & 10 & 3 \\ 3 & 3 & 10\end{pmatrix}\)

Par identification, de trois équations parmi les neufs, de ce système, nous obtenons pour la 1ère colonne :

\(\begin{array}{r c l} 19 & = & \alpha + \beta + 10 \gamma \\ 12 & = & 3\gamma \\ 33 & = & 3\beta + 3\gamma \end{array} \left\} \color{blue} \begin{array}{l} \alpha = -28 \\ \beta = 7 \\ \gamma = 4 \end{array} \right.\)

d'où \(\color{red}A^{3} = -28 I + 7 A + 4 A^{2}\)