Inversion de matrice

Partie

Question

Déduire de la relation précédente que \(A\) est inversible. Calculer \(A^{-1}\).

Aide simple

En posant \(B\) la matrice inverse cherchée, on doit vérifier : \(A B = B A = I\)

Aide détaillée

Isoler \(I\) dans la relation de \(A^{3}\) et mettre sous la forme de \(A B = B A = I\).

Solution simple

L'expression déduite de la relation précédente :

\(A^{-1} = -\frac{1}{28} A^{2} + \frac{1}{7}A + \frac{1}{4}I = \frac{1}{28} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ -3 & 9 & 1 \\ 9 & 1 & -3 \end{pmatrix}\)

Solution détaillée

Pour montrer que \(A\) est inversible, il faut et il suffit de trouver \(B\), tel que \(A B = B A = I\).

L'égalité \(A^{3} = -28 I + 7 A + 4 A^{2}\) s'écrit en isolant la matrice unité :

\(I = -\frac{1}{28} (A^{3} - 7A - 4A^{2}) = -\frac{1}{28} (A^{2} - 7I - 4A)A\)

Comme l'inverse d'une matrice carrée, lorsqu'elle existe, est unique, on a :

\(\begin{array}{r c l} A^{-1} & = & -\frac{1}{28} A^{2} + \frac{1}{7}A + \frac{1}{4}I \\ \\ & = & -\frac{1}{28} \Big[ -A^{2} + 4A + 7I \Big] \\ \\ & = & \frac{1}{28} \left[ \begin{pmatrix}-10 &-3 & -3 \\ -3 & -10 & -3 \\ -3 & -3 & -10 \end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 &3 & 1 \\ 3 & 1 & 0\end{pmatrix} + 7\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right] \end{array}\)

Ainsi, \(\color{blue} A^{-1} = \frac{1}{28} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ -3 & 9 & 1 \\ 9 & 1 & -3\end{pmatrix}\)