Résonance

Soit \(u_e(t)=U_{\textrm{em}}.\cos\omega t\) la tension appliquée aux bornes du dipôle \(RLC\), et \(u_L(t) = U_{Lm}.\cos(\omega t +\varphi)\) la tension aux bornes de la bobine. Le montage est un diviseur de tension en régime sinusoïdal, dans lequel les tensions instantanées sont liées aux impédances complexes des éléments du montage :

\(\displaystyle{\frac{U_{Lm}}{U_{em}}=\Big\Vert\frac{\underline Z_L}{R+\underline Z_C+\underline Z_L}\Big\Vert=\Bigg\Vert\frac{jL\omega}{R+j\big(L\omega-\frac{1}{C\omega}\big)}\Bigg\Vert=\Bigg\Vert\frac{1}{1-\frac{1}{LC\omega^2}-j\frac{R}{L\omega}}}\Bigg\Vert\)

\(=\frac{1}{\sqrt{\Big(1-\frac{1}{LC\omega^2}\Big)^2+\Big(\frac{R}{L\omega}\Big)^2}}\)

La résonance a lieu quand la dérivée de cette expression par rapport à \(\omega\) est nulle ; posons, pour simplifier les calculs :

Nous obtenons :

\(\displaystyle{\frac{U_{\textrm{Lm}}}{U_{\textrm{em}}}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2+\bigg(\frac{X}{Q}\bigg)^2}}=\big(f(x)\big)^{-1/2} ;\;f(x)=1+x^2\Big(\frac{1}{Q^2}-2\Big)+x^4}\)

La tension aux bornes de la bobine sera maximale quand la dérivée de cette expression sera nulle :

\(\frac{d \bigg(\frac{U_{Lm}}{U_{em}}\bigg)}{dx} = - \frac{1}{2} \big(f(x)\big)^{-3/2} . \frac{d(f(x))}{dx} ; \frac{d(f(x))}{dx} = 2x(\frac{1}{Q^{2}} - 2+2x^{2})\)

Cette expression s'annule pour \(x = 0\) , c'est à dire quand \(\omega \to\infty\),ou quand le second terme s'annule : \(2x^2=2-\frac{1}{Q^2}\)

Ce qui n'admet de solution réelle que si \(\frac{1}{Q^2}<2\) , donc, compte tenu de \(Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) , donne la condition \(R<\sqrt{\frac{2L}{C}}\) ; on a alors une racine positive

\(\displaystyle{x=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}=\sqrt{1-\frac{R^2C}{2L}}<1}\) , ce qui donne un maximum de tension aux bornes de la bobine pour une pulsation \(\displaystyle{\omega=\frac{\omega_0}{x}>\omega_0}\) d'autant plus proche de \(\omega_0\) que la valeur de \(R\) est petite.