Résonance

[1] \(\displaystyle{u_B(t) = U_B\sqrt2 \cos(\omega t +\varphi),\textrm{ avec : } U_B = E\frac{R^2+L^2\omega^2}{R^2+\bigg(L\omega-\frac{1}{C\omega}\bigg)^2}}\)

  et \(\displaystyle{\varphi = \textrm{Arctg}\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}-\textrm{Arctg}\frac{L\omega}{R}}\)

Le montage est un diviseur de tension en régime sinusoïdal permanent, donc le rapport des tensions complexes est égal au rapport des impédances complexes ; soient u(t) la tension aux bornes du dipôle \(\textrm{RLC}\), \(u_B(t)\) la tension aux bornes de la bobine, \(\displaystyle{\underline u(t)\textrm{ et }\underline u _B(t)}\) les tensions complexes associées. Alors :

Le rapport entre les valeurs efficaces des tensions est donné par le module de cette expression complexe : \(\displaystyle{\frac{U_B}{U}=\Bigg(\frac{L^2C^2\omega^2+R^2C^2\omega^2}{(1-LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2}\Bigg)^{1/2}}\)

Et l'argument donne le déphasage entre la tension aux bornes de la bobine et la tension aux bornes du dipôle : \(\displaystyle{\varphi = \textrm{ Arctg}\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R} -\textrm{ Arctg}\frac{L\omega}{R}}\)

[2] \(\displaystyle{\omega'_0=\omega_0\textrm{x}^{1/2}=\omega_0\Bigg(\frac{1+\sqrt{1+\frac{2}{Q^2}}}{2}\Bigg)^{1/2}}\)

où \(\omega_0\) est la fréquence de résonance en courant du même dipôle \(RLC\) série.

Application numérique : \(\displaystyle{\omega'_0\;\#\;\omega_0 = 6742 \textrm{ rad}.\textrm{s}^{-1} , F'_0\; \#\; F_0 = 1073\textrm{ Hz}}\)

\(\displaystyle{\frac{U_B}{U}=\Bigg(\frac{L^2C^2\omega^2+R^2C^2\omega^2}{(1-LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2}\Bigg)^{1/2}}\) se simplifie, compte tenu de l'expression de la pulsation de résonance en intensité \(\displaystyle{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\) et de celle du facteur de qualité \(\displaystyle{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\) en :

\(\displaystyle{\frac{U_B}{U}=\left(\frac{\Big(\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\Big)^2+\frac{\omega^2}{Q^2\omega_0^2}}{\Big(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\Big)^2+\frac{\omega^2}{Q^2\omega_0^2}}\right)^{1/2}}\) ; si l'on pose \(\displaystyle{x=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}\), l'expression devient :

pour trouver la résonance en tension, on calcule la dérivée :

\(\displaystyle{=\frac{1}{2}\bigg(\frac{Q^2x^2+x}{Q^2(1-x)^2+x}\bigg)^{-1/2}\frac{(2Q^2x+1)(Q^2(1-x)^2+x)-(Q^2x^2+x)(1-2Q^2(1-x))}{(Q^2(1-x)^2+x)^2}}\) qui s'annule pour : \(\displaystyle{x^2-x-\frac{1}{2Q^2}=0}\) , dont le discriminant est :\(\displaystyle{\Delta=1+\frac{2}{Q^2}>0}\) L'équation admet donc des solutions, mais comme \(\displaystyle{x=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}\) , seule les solutions positives, si elles existent, ont un sens physique. Les deux solutions sont : \(\displaystyle{x=\frac{1\pm\sqrt{\Delta}}{2}}\) ; comme \(\Delta>1\) , seul la solution \(\displaystyle{x=\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}}\) est acceptable. D'où la pulsation de résonance :

\(\displaystyle{\omega'_0=\omega_0x^{1/2}=\omega_0\Bigg(\frac{1+\sqrt{1+\frac{2}{Q^2}}}{2}\Bigg)^{1/2}>\omega_0}\) , puisque \(x > 1\). En fonction des éléments du circuit, la fréquence de résonance est donc : \(\displaystyle{F'_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\Bigg(\frac{1+\sqrt{1+\frac{2R^2C}{L}}}{2}\Bigg)^{1/2}}\)

Application numérique : \(\displaystyle{\omega'_0\;\#\;\omega_0 = 6742 \textrm{ rad}.\textrm{s}^{-1}, F'_0\;\#\;F_0 = 1073 \textrm{ Hz}}\)

en tenant compte de \(LC{\omega_0^2}= 1 \textrm{ et }R \ll L\omega_0\) on a : \(\displaystyle{\frac{U_B}{U}\approx\Big(\frac{1}{R^2C^2\omega_0^2}\Big)^{1/2}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=Q}\) Application numérique : \(Q = 613\).

On constate que dans ce montage, la résistance de la bobine a peu d'effet sur la fréquence de résonance. Avec les mêmes valeurs de \(L\) et \(C\), on aurait

\(\displaystyle{F'_0 = 1,003.F_0 \textrm{ pour } R = 1 \textrm{ K}\Omega,\textrm{ et }F'_0 = 1,18.F_0\textrm{ pour }R=10\textrm{ k}\Omega}\)

[3] \(\displaystyle{F_{c1}\leq F\leq F_{c2}; F_{c1} = 1071 \textrm{ Hz};F_{c2} = 1075 \textrm{ Hz}}\)

A la fréquence de résonance, \(\displaystyle{R\ll L\omega_0 = 674 \;\Omega}\) ; la bande passante est la que si l'on observait la résonance aux bornes de l'inductance seule. Pour la résonance :

La bande passante est l'ensemble des fréquences pour lesquelles la tension aux bornes de la bobine vérifie :

Pour les fréquences limitant cette bande (fréquences de coupure), on a donc \(\displaystyle{\frac{U_B}{U}=\frac{Q}{\sqrt{2}}}\) , ce qui implique, compte tenu de \(Q\gg 1\) , : \(\displaystyle{\Bigg(\frac{Q^2x^2}{Q^2(1-x)^2+x}\Bigg)=\frac{Q^2}{2}}\).

D'où l'équation du second degré en \(x\) : \(\displaystyle{(Q^2-2)x^2+(1-2Q^2)x+Q^2=0}\) , dont le discriminant est \(\displaystyle{\Delta=4Q^2+1\approx4Q^2>0}\) . D'où les racines : \(\displaystyle{x=\frac{2Q^2-1\pm2Q}{2(Q^2-2)}}\) , les fréquences de coupure : \(\displaystyle{F_c = F_0.x^{1/2}}\), et la bande passante : \(\displaystyle{F_{c1}\leq F\leq F_{c2}}\) .

Application numérique : \(\displaystyle{x_1 = 0,998;\; x_2 = 1,002;\; F_{c1} = 1071 \textrm{ Hz}; \;F_{c2} = 1075 \textrm{ Hz}}\)