Résonance aux bornes du condensateur
Partie
Un dipôle \(RLC\) série est alimenté par un générateur de tension idéal, en régime sinusoïdal permanent
Montrer que la résistance \(R\) doit être inférieure à une valeur limite, que l'on déterminera, pour qu'un maximum de tension soit observable aux bornes du condensateur. Application numérique : \(L = 4,5\textrm{ mH}\) , \(\displaystyle{C = 22 \textrm{ nF}}\)
Donner l'expression de la fréquence de résonance en tension ; calculer sa valeur \((R = 300 \;\Omega)\) ; la comparer à celle de la fréquence de résistance en courant du même dipôle \(RLC\).
Donner l'expression de la tension aux bornes du condensateur à la résonance ; calculer sa valeur ; comparer la valeur du coefficient de surtension à celle du facteur de qualité du dipôle.
Question
Montrer que la résistance \(R\) doit être inférieure à une valeur limite, que l'on déterminera, pour qu'un maximum de tension soit observable aux bornes du condensateur.
Aide simple
Utiliser le montage diviseur de tension, et les impédances complexes, puis les modules et les arguments.
Aide détaillée
Simplifier les calculs en faisant apparaître la fréquence de résonance en courant et le facteur de qualité
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
\(\displaystyle{R<\sqrt{\frac{2L}{C}}= 452\;\Omega}\)
Solution détaillée
Le montage est un diviseur de tension en régime sinusoïdal permanent, donc le rapport des tensions complexes est égal au rapport des impédances complexes ; soient \(u(t)\) la tension aux bornes du dipôle \(RLC, u_C(t)\) la tension aux bornes du condensateur, \(\underline u(t)\textrm{ et }\underline u_C(t)\) les tensions complexes associées.
Alors : \(\displaystyle{\frac{\underline u_c}{\underline u}=\frac{\underline Z_c}{\underline Z_{RLC}}=\frac{\frac{1}{jC\omega}}{R+j(L\omega-\frac{1}{C\omega})}=\frac{1}{1-LC\omega^2+jRC\omega}}\)
le rapport entre les valeurs efficaces des tensions est donné par le module de cette expression complexe : \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{((1-LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2)^{1/2}}}\) qui se simplifie, compte tenu de l'expression de la pulsation de résonance en intensité.
\(\displaystyle{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\)
et de celle du facteur de qualité \(\displaystyle{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\) en : \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{\Bigg(\big(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\big)^2+\frac{\omega^2}{Q^2\omega_0^2}\Bigg)^{1/2}}}\) ; si l'on pose \(\displaystyle{x=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}\), l'expression devient : \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{\left((1-X)^2+\frac{x}{Q^2}\right)^{1/2}}}\) pour trouver la résonance en tension, on calcule la dérivée :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\Big(\frac{U_c}{U}\Big)&=&\frac{-1}{2\Big((1-x)^2+\frac{x}{Q^2}\Big)^{3/2}}\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\Big((1-x)^2+\frac{x}{Q^2}\Big)\\ & = & \frac{-1}{2\Big((1-x)^2+\frac{x}{Q^2}\Big)^{3/2}}\Big(-2(1-x)+\frac{1}{Q^2}\Big)\\ & = & \frac{-1}{2\Big((1-x)^2+\frac{x}{Q^2}\Big)^{3/2}}\Big(2x-2+\frac{1}{Q^2}\Big)\end{array}}\)
qui s'annule pour : \(\displaystyle{x=1-\frac{1}{2Q^2}}\)
comme \(\displaystyle{x=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}>0,2Q^2>1,\textrm{ donc }R<\sqrt{\frac{2L}{C}}}=452\;\Omega\) ; pour des valeurs de \(R\) supérieures, la dérivée s'annule pour une valeur de \(x\) négative, ce qui physiquement n'a pas de sens.
Question
donner l'expression de la fréquence de résonance en tension
Aide simple
Utiliser le montage diviseur de tension, et les impédances complexes, puis les modules et les arguments.
Aide détaillée
Simplifier les calculs en faisant apparaître la fréquence de résonance en courant et le facteur de qualité
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
\(\displaystyle{F'_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\Big(1-\frac{2L}{R^2C}\Big)^{1/2}=F_0\Big(1-\frac{1}{2Q^2}\Big)^{1/2};\;Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
Application numérique : \(\displaystyle{F'_0 = 14.1 \textrm{ kHz } ( F_0 = 16,0 \textrm{ kHz})}\)
Solution détaillée
La valeur de \(R~(300 \;\Omega)\) est inférieure à la valeur limite, donc une résonance en tension est observable aux bornes du condensateur. La résonance a lieu pour : \(\displaystyle{x=1-\frac{1}{2Q^2}}\) ; comme \(\displaystyle{x=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}\) , la pulsation de résonance est
\(\displaystyle{\omega'_0=\omega_0\sqrt{x}=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}=\omega_0\sqrt{1-\frac{2L}{R^2C}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{2L}{R^2C}}}\)
d'où la fréquence de résonance :
\(\displaystyle{F'_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\Big(1-\frac{2L}{R^2C}\Big)^{1/2}=F_0\Big(1-\frac{1}{2Q^2}\Big)^{1/2}}\)
Application numérique : \(\displaystyle{F'_0=14,1\textrm{ kHz }(F_0=16,0\textrm{ kHz})}\)
Question
donner l'expression de la tension
Aide simple
Utiliser le montage diviseur de tension, et les impédances complexes, puis les modules et les arguments.
Aide détaillée
Simplifier les calculs en faisant apparaître la fréquence de résonance en courant et le facteur de qualité
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
\(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{((1-LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2)^{1/2}}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}> Q}\)
Application numérique : \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=1,60 ;\;Q=1,51}\)
Solution détaillée
A la résonance, \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{\Big((1-x)^2+\frac{x}{Q^2}\Big)^{1/2}}}\) et \(\displaystyle{x=1-\frac{1}{2Q^2}}\) , d'où :
\(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=\frac{1}{\Bigg(\Big(\frac{1}{2Q^2}\Big)^2+\frac{2Q^2-1}{2Q^4}\Bigg)^{1/2}}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}> Q}\)
Application numérique : \(\displaystyle{\frac{U_c}{U}=1,60 ;\;Q=1,51}.\)