Perturbation par un oscilloscope
Partie
On observe la résonance en tension aux bornes du condensateur dans un dipôle\(RLC\) série à l'aide d'un oscilloscope relié au montage par un câble coaxial. L'inductance du dipôle vaut \(11,5 \textrm{ mH}\), la capacité \(220 \textrm{ pF}\), et la résistance \(10\;\Omega\). Le câble a une résistance négligeable et une capacité de \(100 \textrm{ pF}\). L'impédance d'entrée de l'oscilloscope est équivalente à une résistance de \(1\textrm{ M}\Omega\) en parallèle avec une capacité de \(25 \textrm{ pF}\).
Expliquer pourquoi la fréquence de résonance observée avec ce montage est différente de la fréquence propre du circuit.
Calculer la fréquence propre \(F_o\) du circuit et la fréquence \(F_c\) à laquelle on observe la résonance aux bornes du condensateur. Quelle erreur relative fait-on en les confondant ?
Au lieu de relier directement l'oscilloscope aux bornes du condensateur, on utilise maintenant une sonde divisant par \(10\) la tension mesurée, et dont le schéma est le suivant :
Montrer qu'avec ce nouveau montage, la fréquence de résonance observée est plus proche de la fréquence propre du circuit.
Question
Expliquer pourquoi la fréquence de résonance observée avec ce montage est différente de la fréquence propre du circuit.
Aide simple
Montrer que la résistance d'entrée de l'oscilloscope ne perturbe pratiquement pas la mesure
Aide détaillée
Utiliser les lois d'association des condensateurs
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
La capacité du câble modifie la capacité apparente du circuit : elle est en parallèle avec le condensateur.
Solution détaillée
La capacité du câble modifie la capacité apparente du circuit : elle est en parallèle avec le condensateur, donc s'y ajoute. Tout se passe comme si on avait une capacité plus grande. La fréquence apparente de résonance en tension est donc abaissée.
Question
Calculer la fréquence propre \(F_o\) du circuit et la fréquence \(F_c\) à laquelle on observe la résonance aux bornes du condensateur. Quelle erreur relative fait-on en les confondant ?
Aide simple
Montrer que la résistance d'entrée de l'oscilloscope ne perturbe pratiquement pas la mesure
Aide détaillée
Utiliser les lois d'association des condensateurs
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
\(\displaystyle{F_0\approx100\textrm{ kHz};\;F'_0\approx80\textrm{ kHz};\;\frac{\Delta F}{F}=20\%}\)
Solution détaillée
La résistance du circuit est très faible, donc la fréquence propre de résonance en tension aux bornes du condensateur est pratiquement égale à la fréquence de résonance en courant :
\(\displaystyle{F_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx100\textrm{ kHz}}\)
Mais la capacité du câble et de l'entrée de l'oscilloscope, reliée en parallèle aux bornes du condensateur, donne une capacité apparente \(\displaystyle{C' = 220 + 125 = 345 \textrm{ pF}}\)
D'où la fréquence apparente de résonance : \(\displaystyle{F'_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC'}}\approx80\textrm{ kHz}}\). L'erreur relative ainsi commise est \(\displaystyle{\frac{\Delta F}{F}=\frac{F_0-F'_0}{F_0}\approx20\;\%}\).
La résistance d'entrée de l'oscilloscope est \(1\;\textrm{ M}\Omega\) . L'impédance de la capacité \(C' \)vaut, à la fréquence de mesure, \(\displaystyle{Z_c=\frac{1}{C\omega_0}\approx5,8\textrm{ k}\Omega}\) . La perturbation apportée par la résistance d'entrée de l'oscilloscope est donc négligeable.
Question
Au lieu de relier directement l'oscilloscope aux bornes du condensateur, on utilise maintenant une sonde divisant par \(10\) la tension mesurée,et dont le schéma est le suivant :
Montrer qu'avec ce nouveau montage, la fréquence de résonance observée est plus proche de la fréquence propre du circuit.
Aide simple
Montrer que la résistance d'entrée de l'oscilloscope ne perturbe pratiquement pas la mesure
Aide détaillée
Utiliser les lois d'association des condensateurs
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent
Solution simple
\(\displaystyle{F"_0\approx99,8\textrm{ kHz};\frac{\Delta F}{F}\approx\;0,2\;\%}\)
Solution détaillée
Le diviseur de tension \(RC-RC\) a été étudié dans le chapitre " Loi d'Ohm ". Comme \(R_1C_1 = R_2C_2\) , la tension observée aux bornes de \(C_2\) est en phase avec la tension aux bornes du diviseur, et le rapport des amplitudes vaut \(\displaystyle{\frac{R_2}{R_1+R_2}}\)
La capacité de l'ensemble {câble + entrée} est petite devant \(C_2\), et peut être négligée. L'ensemble \(\displaystyle{\{C_1+C_2\}}\) est équivalent à une capacité unique, de valeur \(\displaystyle{C_E=\frac{C_1.C_2}{C_1+C_2}}\) , en parallèle sur \(C\). La résonance en tension aux bornes de \(C\) se produit donc à la fréquence \(\displaystyle{F"_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C+C_E)}}}\)
qui, compte tenu des valeurs des capacités, est très proche de \(F_0\).
Application numérique :
\(\displaystyle{C_E=\frac{C_1.C_2}{C_1+C_2}=0,9\textrm{ nF};\;F"_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C+C_E)}}=99,8\textrm{ kHz};\;\frac{\Delta F}{F}=\frac{F_0-F"_0}{F_0}\approx0,2\;\%}\)