Circuit R-L-C (1)
Partie
Question
On réalise un dipôle \(R-L-C\) série en associant les trois éléments suivants :
un conducteur ohmique \((R_0 = 11~\Omega)\)
une bobine \((R_L = 1~\Omega ; L = 45\textrm{ mH})\)
un condensateur \((C = 220~\mu\textrm{F})\).
Calculer :
la fréquence de résonance, le déphasage entre courant et tension à la résonance. En déduire l'équation de l'intensité du courant dans le circuit à la résonance, sachant que la tension aux bornes a une amplitude de \(24\textrm{ V}\).
Aide simple
\(\underline Z=R+jL\omega+\frac1{jC\omega}=R+jL\omega-\frac j{C\omega}\)
Aide détaillée
\(Z=||\underline Z||=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^2}\)
\(\varphi=\mathrm{Arg}(\underline Z)=\mathrm{Arctg}\Bigg(\frac{L\omega-\frac1{C\omega}}R\Bigg)\)
Aide méthodologique
loi d'Ohm en régime sinusoïdal.
Solution simple
\(F_0=50,6~\mathrm{Hz} ; \varphi=0 ; i(t)=2.\cos(\mathrm{101,2}~\pi t)\)
Solution détaillée
On dit qu'il y a résonance en courant dans le circuit quand l'intensité est maximale, donc quand l'impédance du circuit passe par un minimum ;
ceci est vrai si : \(L\omega-\frac1{C\omega}=0\Leftrightarrow LC\omega^2=1\Leftrightarrow\omega=\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}\)
d'où : \(F_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}=\mathrm{50,6}~\textrm{Hz}\)
alors :\(Z=||\underline Z||=\sqrt{R^2+\big(L\omega-\frac1{C\omega}\big)^2}=R=R_0+R_L=12~\Omega\)
d'où : \(I_m=\frac{U_m}Z=2A\) et \(\varphi=\textrm{Arg}~(\underline Z)=\textrm{Arctg}\Bigg(\frac{L\omega-\frac1{C\omega}}R\Bigg)=0\).