Circuit R-L-C série (2)
Partie
Question
Un circuit \(R-L-C\) série est composé d'une bobine de résistance négligeable et d'inductance \(L,\) d'un condensateur de capacité \(C\) et d'un conducteur ohmique de résistance \(R =100~\Omega\)
A la résonance, qui se produit à \(F_0 = 1\textrm{ kHz}\), on observe que l'amplitude de la tension est la même aux bornes de chacun des trois dipôles.
En déduire les valeurs de \(L\) et \(C\).On applique aux bornes du circuit une tension d'amplitude \(1 \textrm{ V}\).
Calculer la tension aux bornes de chacun des trois dipôles pour \(F = 500 \textrm{ Hz}\), puis \(2 \textrm{ kHz}\)
Aide simple
\(\displaystyle{\underline Z=R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}=R+jL\omega-\frac{j}{C\omega}}\)
Aide détaillée
\(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}}\)
\(\displaystyle{\varphi=\textrm{Arg}(\underline Z)=\textrm{Arctg}\Bigg(\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}\Bigg)}\)
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal.
Solution simple
\(\displaystyle{L = 16 \textrm{ mH} ; C = 1,6 \;\mu\textrm{F}\; ( 1,6.10^{-6} F)}\);
pour \(\displaystyle{F = 500 \textrm{ Hz} , Z_L = 50 \Omega, Z_C = 200 \Omega}\);
pour \(F = 2000 \textrm{ Hz}, Z_L = 200 \Omega, Z_c = 50 \Omega ; Z_{50} = Z_{200} = 180 \Omega \Rightarrow\) pour les deux fréquences, le courant dans le circuit a même intensité \(I = 5.55 \textrm { mA }\) ;
pour \(F = 500 \textrm{ Hz}, U_R = 0.555 \textrm{ V}, U_L = 0.277 \textrm{ V}, U_C = 1.11 \textrm{ V}\);
Pour \(F = 2000 \textrm{ Hz}, U_R = 0.555 \textrm{ V}, U_L = 1.11 \textrm{ V}, U_C = 0.277 \textrm{ V}.\)
Solution détaillée
Pour \(f = 1 \textrm{ kHz} , U_L = U_C = U_R,\textrm{ donc } Z_L = Z_C = R = 100\; \Omega\)
\(\displaystyle{Z_L=L.\omega\iff L=\frac{Z}{\omega}=\frac{R}{2\pi F}=16\textrm{ mH}}\)
\(\displaystyle{Z_c=\frac{1}{C\omega}\iff C=\frac{1}{Z\omega}=\frac{1}{R\omega}=1,6\;\mu\textrm{F}\;(1,6.10^{-6}\textrm F)}\)
Pour \(\displaystyle{F = 500 \textrm{ Hz} , Z_L = L.\omega = 50 \;\Omega}\) , \(\displaystyle{Z_c=\frac{1}{C\omega}=200\Omega}\)
d'où \(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}=\sqrt{100^2+(50-200)^2}=180\;\Omega}\)
donc : \(\displaystyle{I_m=\frac{U_m}{Z}=5,55\textrm{ mA}}\) et : \(\displaystyle{U_R = R.I_m = 0,555 \textrm{ V}; U_L = Z_L.I_m =0,277\textrm{ V}}\);
\(\displaystyle{U_c = Z_C.I_m = \textrm{1,11 V}}\)
Pour \(\displaystyle{F = 2000 \textrm{ Hz}, Z_L = L.\omega = 200 \;\Omega}\) , \(\displaystyle{Z_c=\frac{1}{C\omega}=50\;\Omega}\)
d'où : \(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}=\sqrt{100^2+(50-200)^2}=180\;\Omega}\)
donc : \(\displaystyle{I_m=\frac{U_m}{Z}=5,55\textrm{ mA}}\) et \(\displaystyle{U_R = R.I_m = \textrm{0,555 V}; U_L = Z_L.I_m = \textrm{1,11 V}}\) ;
\(\displaystyle{U_C = Z_C.I_m = \textrm{0,277 V}}.\)