Déphaseur
Partie
La figure ci-dessous représente un dipôle AB.
Question
1. Donner l'expression de l'admittance du dipôle\(AB\) représenté sur la figure. En déduire celle de son impédance.
Aide simple
Pour la question 2, faire apparaître dans l'expression de \(\displaystyle{\underline Z_{AB}}\) un rapport de la forme : \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\)
Aide détaillée
Le module de \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\) est égal à \(1\) et son argument à \(\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}\)
Aide méthodologique
Impédances complexes
Solution simple
\(\displaystyle{\underline Y_{AB}=\frac{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}{jL\omega(1+jRC\omega)};\;\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}}\)
Solution détaillée
Le dipôle comporte deux branches , l'une contenant la bobine, l'autre le condensateur en série avec la résistance ; l'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme des admittances complexes :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Y_{AB} & = & \frac{1}{jL\omega}+\frac{1}{R+\frac{1}{jL\omega}}=\frac{1}{jL\omega}+\frac{jC\omega}{1+jRC\omega}\\ & = & \frac{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}{jL\omega(1+jRC\omega)}\end{array}}\)
l'impédance du dipôle est donnée par l'inverse de l'admittance :
\(\displaystyle{\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}}\)
Question
Pour une fréquence \(\displaystyle{F=\frac{\omega}{2\pi}}\) donnée, constante, montrer que si les éléments du circuit vérifient la relation \(LC\omega^2 = 2\) , l'impédance \(Z\) du dipôle est indépendante de la valeur de \(R\). Donner l'expression de \(Z\) dans ce cas.
Aide simple
Pour la question 2, faire apparaître dans l'expression de \(\displaystyle{\underline Z_{AB}}\) un rapport de la forme : \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\)
Aide détaillée
Le module de \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\) est égal à 1 et son argument à \(\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}\)
Aide méthodologique
Impédances complexes
Solution simple
\(\displaystyle{\underline Z_{AB}=L\omega=\frac{1}{2C\omega}}\)
Solution détaillée
Quand la relation \(LC\omega^2 = 2\) est vérifiée, on peut écrire :
\(\displaystyle{\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{-1+jRC\omega}=-jL\omega\frac{1+jRC\omega}{1-jRC\omega}}\)
Le module de \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\) est égal à 1 , donc \(Z_{AB} = L\omega\) impédance constante pour une fréquence d'alimentation du circuit donnée.
Question
Quand la relation \(LC\omega^2 = 2\) est vérifiée, donner l'expression du déphasage \(\varphi\) entre tension et courant créé par ce dipôle.
Quelles sont les limites de \(\varphi\) quand \(R\) varie de zéro à l'infini ?
Aide simple
Pour la question 2, faire apparaître dans l'expression de \(\displaystyle{\underline Z_{AB}}\) un rapport de la forme : \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\)
Aide détaillée
Le module de \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\) est égal à 1 et son argument à \(\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}\)
Aide méthodologique
Impédances complexes
Solution simple
\(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2}-2\textrm{Arctg}\frac{1}{RC\omega};-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\) quand \(R\) varie de zéro à l'infini.
Solution détaillée
Le déphasage est égal à l'argument de \(\displaystyle{\underline Z_{AB}}\) , donc à la somme de l'argument de \(jL\omega\) et de l'argument du second terme ;
l'argument de \(\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}\) est égal à \(\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}\);
donc : \(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2}-2\textrm{Arctg}\frac{1}{RC\omega};\;-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\) ; quand \(R\) varie de zéro à l'infini.