Déphaseur [Réseaux]

Déphaseur

Partie

La figure ci-dessous représente un dipôle AB.

Question

1. Donner l'expression de l'admittance du dipôle $AB$ représenté sur la figure. En déduire celle de son impédance.

Aide simple

Pour la question 2, faire apparaître dans l'expression de $\displaystyle{\underline Z_{AB}}$ un rapport de la forme : $\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}$

Aide détaillée

Le module de $\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}$ est égal à $1$ et son argument à $\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}$

Solution simple

$\displaystyle{\underline Y_{AB}=\frac{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}{jL\omega(1+jRC\omega)};\;\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}}$

Le dipôle comporte deux branches , l'une contenant la bobine, l'autre le condensateur en série avec la résistance ; l'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme des admittances complexes :

$\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Y_{AB} & = & \frac{1}{jL\omega}+\frac{1}{R+\frac{1}{jL\omega}}=\frac{1}{jL\omega}+\frac{jC\omega}{1+jRC\omega}\\ & = & \frac{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}{jL\omega(1+jRC\omega)}\end{array}}$

l'impédance du dipôle est donnée par l'inverse de l'admittance :

$\displaystyle{\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}}$

Question

Pour une fréquence $\displaystyle{F=\frac{\omega}{2\pi}}$ donnée, constante, montrer que si les éléments du circuit vérifient la relation $LC\omega^2 = 2$ , l'impédance $Z$ du dipôle est indépendante de la valeur de $R$ . Donner l'expression de $Z$ dans ce cas.

Aide simple

Pour la question 2, faire apparaître dans l'expression de $\displaystyle{\underline Z_{AB}}$ un rapport de la forme : $\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}$

Aide détaillée

Le module de $\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}$ est égal à 1 et son argument à $\displaystyle{2\textrm{Arctg}\frac{b}{a}}$

Aide méthodologique

Solution simple

$\displaystyle{\underline Z_{AB}=L\omega=\frac{1}{2C\omega}}$

Solution détaillée

Quand la relation $LC\omega^2 = 2$ est vérifiée, on peut écrire :

$\displaystyle{\underline Z_{AB}=\frac{jL\omega(1+jRC\omega)}{-1+jRC\omega}=-jL\omega\frac{1+jRC\omega}{1-jRC\omega}}$

Le module de $\displaystyle{\frac{a+jb}{a-jb}}$ est égal à 1 , donc $Z_{AB} = L\omega$ impédance constante pour une fréquence d'alimentation du circuit donnée.

Question

Quand la relation $LC\omega^2 = 2$ est vérifiée, donner l'expression du déphasage $\varphi$ entre tension et courant créé par ce dipôle.

Quelles sont les limites de $\varphi$ quand $R$ varie de zéro à l'infini ?

donc : $\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2}-2\textrm{Arctg}\frac{1}{RC\omega};\;-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}$ ; quand $R$ varie de zéro à l'infini.