Avec ou sans court-circuit ?
Partie
Question
Calculer l'impédance des deux circuits ci-dessous quand : \(\displaystyle{R=\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
Aide simple
L'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme des admittances complexes : \(\displaystyle{\underline Y=\sum_n\underline Y_n}.\)
L'impédance complexe de dipôles associés en série est égale à la somme de leurs impédances complexes :\(\displaystyle{\underline Z=\sum_n\underline Z_n}.\)
Aide méthodologique
Association série, association parallèle.
Solution simple
\(Z = R\)
Solution détaillée
Le premier montage comporte deux branches en parallèle, chacune formée de deux dipôles en série : \(L, R\) pour l'une, \(R, C\) pour l'autre. l'impédance complexe de dipôles associés en série est égale à la somme de leurs impédances complexes :
\(\displaystyle{\underline Z_{RL} = R + jL\omega;\;\underline Z_{RC} = R +\frac{1}{jC\omega}}\)
L'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme de leurs admittances complexes :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Y_{AB} & = & \underline Y_{RL}+\underline Y_{RC}=\frac{1}{\underline Z_{RL}}+\frac{1}{\underline Z_{RC}}\\ & = & \frac{1}{R+jL\omega}+\frac{jC\omega}{1+jRC\omega}\\& = & \frac{1+RC\omega+jC\omega(R+jL\omega)}{(R+jL\omega)(1+jRC\omega)}\\ & = & \frac{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}{jL\omega(1+jRC\omega)}\end{array}}\)par hypothèse,
\(\displaystyle{R=\sqrt{\frac{L}{C}}\Rightarrow R^2=\frac{L}{C}\Rightarrow R^2C=L}\)
d'où
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Y_{AB}&=&\frac{(1-LC\omega^2)+2jRC\omega}{R(1-LC\omega^2)+2jR^2C\omega}\\ & = & \frac{(1-LC\omega^2)+2jRC\omega}{R[(1-LC\omega^2)+2jRC\omega]}=\frac{1}{R}\Rightarrow Z_{AB}=R\end{array}}\)
Le second montage comporte deux associations de dipôles en série, chacune formée de deux branches en parallèle : \(L, R\) pour l'une, \(R, C\) pour l'autre. L'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme de leurs admittances complexes :
\(\displaystyle{\underline Y_{RL}=\underline Y_R+\underline Y_L=\frac{1}{R}+\frac{1}{jL\omega}=\frac{R+jL\omega}{jRL\omega}\Rightarrow\underline Z_{RL}=\frac{jRL\omega}{R+jL\omega}}\)
\(\displaystyle{\underline Y_{RC}=\underline Y_R+\underline Y_C=\frac{1}{R}+jC\omega=\frac{1+jRC\omega}{R}\Rightarrow\underline Z_{RC}=\frac{1}{\underline Y_{RC}}=\frac{R}{1+jRC\omega}}\)
l'impédance complexe de dipôles associés en série est égale à la somme de leurs impédances complexes :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Z_{AB}&=&\underline Z_{RL}+\underline Z_{RC}=\frac{jRL\omega}{R+jL\omega}+\frac{R}{1+jRC\omega}\\& = & \frac{jRL\omega(1+jRC\omega)+R(R+jL\omega)}{(R+jL\omega)(1+jRC\omega)}\\ & = & R.\frac{R(1-LC\omega^2)+2jRL\omega}{R(1-LC\omega^2)+j\omega(L+R^2C)}\end{array}}\)
Par hypothèse, \(R=\sqrt{\frac{L}{C}}\Rightarrow R^2=\frac{L}{C}\Rightarrow R^2C=L\);
d'où : \(\displaystyle{\underline Z_{AB}=R.\frac{R(1-LC\omega^2)+2jRL\omega}{R(1-LC\omega^2)+2jRL\omega}=R}\)
Les deux montages ont donc la même impédance, purement résistive ;
quand la condition \(R=\sqrt{\frac{L}{C}}\) est vérifiée, le court-circuit central qui différencie les deux montages ne joue aucun rôle : il n'est donc parcouru par aucun courant.