Pont en alternatif
Partie
Question
Exprimer les conditions que doivent vérifier les éléments de ce montage pour que le pont soit équilibré, c'est à dire que \(V_C-V_D = 0.\)
En déduire une méthode permettant de mesurer la capacité et la résistance de fuite des condensateurs.
Aide simple
Utiliser l'équivalence \(RC\) série-\(RC\) parallèle.
Aide méthodologique
Association série, association parallèle.
Solution simple
\(\displaystyle{R_1.R_x = R_2.R_3 ;\; R_2.C_x = R_1.C_3}\)
Solution détaillée
Soient \(\underline Z_1,\underline Z_2,\underline Z_3,\underline Z_x\) , les impédances des branches \(AC, CB,AD,DB\) du pont ;
soient \(\underline i_1(t) \textrm{ et }\underline i_2(t)\) les intensités des courants dans les branches \(ACB\) et \(ADB\) du pont ;
la condition d'équilibre du pont est \(V_C - V_D = 0,\) que l'on peut écrire \(V_C - V_B +V_B - V_D = 0,\) ou \((V_C - V_B) - (V_D - V_B =0)\) , qui en appliquant la loi d'Ohm en alternatif, s'écrit :
\(\displaystyle{\underline Z_2.\underline i_1(t)-\underline Z_x.\underline i_2(t)=0}\);
la même tension \(e(t)\) est appliquée aux deux branches du pont ;
l'application de la loi d'Ohm donne : \(\displaystyle{\underline i_1(t)=\frac{\underline e(t)}{\underline Z_1+\underline Z_2}}\),
\(\displaystyle{\underline i_2(t)=\frac{\underline e(t)}{\underline Z_3+\underline Z_x}}.\)
La condition d'équilibre est donc :
\(\displaystyle{\underline e(t)=\Big(\frac{\underline Z_2}{\underline Z_1+\underline Z_2}-\frac{\underline Z_x}{\underline Z_3+\underline Z_x}\Big)=0\iff\underline Z_2.\underline Z_3=\underline Z_1.\underline Z_x}\)
L'expression est la même que pour l'équilibre du pont en courant continu, mais en utilisant les impédances complexes.
Remplaçons \(\underline Z_1,\underline Z_2,\underline Z_3,\underline Z_x\) par leurs valeurs :
\(\displaystyle{\underline Z_3=\frac{1}{\frac{1}{R_3}+jC_3\omega}=\frac{R_3}{1+jR_3C_3\omega}}\)
\(\displaystyle{\displaystyle{\underline Z_x=\frac{1}{\frac{1}{R_x}+jC_x\omega}}=\frac{R_x}{1+jR_xC_x\omega}}\)
la condition d'équilibre devient :
\(\displaystyle{\frac{R_2.R_3}{1+jR_3C_3\omega}=\frac{R_1.R_x}{1+jR_xC_x\omega}\iff(R_2.R_3)(1+jR_xC_x\omega)=(R_1.R_x)(1+jR_3C_3\omega)}\)
Pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles et leurs parties imaginaires doivent être respectivement égales. L'égalité des parties réelles donne :
\(R_1.R_x = R_2.R_3\) et celle des parties imaginaires : \(R_2.C_x = R_1.C_3\)
En pratique, on réalise d'abord l'équilibre du pont en continu \((\omega= 0)\), ce qui permet d'obtenir \(R_1.R_x = R_2.R_3\) par variation de \(R_x\), puis on alimente le pont en tension sinusoïdale et on fait varier \(C_x\) jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre soit atteint. On a alors déterminé la valeur de la capacité du condensateur étudié, et sa résistance de fuite.