Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Rappelons qu'un système physique, quel que soit son type (mécanique, électrique ou autre), est un système amorti. Il perd de l'énergie par des phénomènes de dissipation (amortissement, frottement, effet Joule...). L'énergie totale du système décroît au cours du temps.

Énergie dissipée au cours d'une pseudo-période :

Considérons un système amorti évoluant en régime pseudo-périodique (\(\lambda < \omega_0\)) de pseudo-période \(T_1\).

Désignons par \(E(t_n)\) l'énergie totale de cet oscillateur à un instant \(t_n\) (énergie mécanique, électrique ou autre suivant le type d'oscillateur) et par \(\Delta E = E(t_n + T_1) - E(t_n)\) l'énergie dissipée par l'oscillateur entre les instants \(t_n\) et \(t_n + T_1\). L'instant \(t_n\) correspondant à un extrémum des oscillations.

On établit les résultats suivants (voir la ressource d'exercices correspondante) :

• Dans le cas de l'amortissement \(\lambda < \omega_0  : \frac{ \Delta E}{E (t_n)} = e^{-2\delta} - 1\).

  Le décrément logarithmique \(\delta\) étant constant pour un oscillateur harmonique donné, l'énergie dissipée par le système au cours d'une pseudo-période est constante en valeur relative.

• Dans le cas de l'amortissement très faible (\( \lambda \ll \omega_0\)) : \(- 2 \pi \frac{E(t_n)}{\Delta E} \approx \frac{\omega_0}{2 \lambda} = Q\).

  Dans ce cas, les deux définitions du facteur de qualité

et \(Q = - 2 \pi \frac{E (t_n)}{ \Delta E}\)

sont très peu différentes et la perte d'énergie en valeur relative s'écrit

\(\frac{|\Delta E|}{E(t_n)} = \frac{2 \pi}{Q}\).

Plus le facteur de qualité est grand, moins le système dissipe de l'énergie.