Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Marche à suivre pour la résolution d'une équation différentielle à coefficients constants du type \(ay'' + by' + cy = 0\)

• Ecrire son équation caractéristique :\(ar^{2} +br + c = 0\).

• Rechercher les racines de l'équation caractéristique. On envisage alors 3 cas :

  • il y a 2 racines réelles distinctes (discriminant positif) :\(r_{1}\)et\(r_{2}\). Alors les fonctions\(y(t)\)solutions de l'équation différentielle sont de la forme :\(y(t) = A\exp(r_{1}t) + B\exp(r_{2}t)\)où \(A\) et \(B\) sont 2 réels quelconques,

  • il y a une racine double (discriminant nul) :\(r_{d}\). Alors les fonctions\(y(t)\)solutions de l'équation différentielle sont de la forme\(y(t) = (At + B)\exp(r_{d}t)\)où \(A\) et \(B\) sont 2 réels quelconques,

  • il y a 2 racines complexes de la forme\(\alpha\pm j\beta\). Alors les fonctions\(y(t)\)solutions de l'équation différentielle sont de la forme\(y(t) = [A\cos(\beta t) + B\sin(\beta t)]\textrm{e}^{\alpha t}\)où \(A\) et \(B\) sont 2 réels quelconques.

Application :

Ainsi, pour les trois équations différentielles proposées, nous avons :

• \(4y'' - 3y' + y = 0\) (2 pts)

\(\Delta = -7 \Rightarrow 2\)racines complexes :\(\frac{3\pm j\sqrt{7}}{8}\)

La solution générale de cette équation est donc :

\(y(t) = \bigg[A\cos\bigg(\frac{\sqrt{7}}{8}t\bigg) + B\sin\bigg(\frac{\sqrt{7}}{8}t\bigg)\bigg]e^{\frac{3}{8}t}\) \(A\) et \(B\) réels

• \(6y'' + y = 0\) (2 pts)

\(\Delta = - 24\Rightarrow 2\)racines complexes :\(\pm j\sqrt{\frac{1}{6}}\)

La solution générale de cette équation est donc :

\(y(t) = A\cos\bigg(\frac{1}{\sqrt{6}}t\bigg) + B\sin\bigg(\frac{1}{\sqrt{6}}t\bigg)\) \(A\) et \(B\) réels

• \(4y'' + 5y' + y = 0\) (2 pts)

\(\Delta = 9\Rightarrow2\)racines réelles :\(\frac{-5\pm\sqrt{9}}{8}\)(ie :\(-1\)ou\(\frac{-1}{4}\))

La solution générale de cette équation est donc :

\(y(t) = A\exp(-t) + B\exp(-\frac{1}{4}t)\) \(A\) et \(B\) réels

D'une manière générale, l'équation différentielle d'un système oscillant se met sous la forme : \(q'' + 2\lambda q' + \omega_{0}^{2}q = 0\)

où\(\lambda\)et\(\omega_{0}\)sont deux constantes positives (\(\lambda\)représente le coefficient d'amortissement et\(\omega_{0}\)la pulsation propre)

Ainsi, on peut voir que la deuxième équation et la troisième décrivent un système oscillant :

• \(6y'' + y = 0\Rightarrow\displaystyle{  \left[\begin{array}{ll} \lambda= 0  \\ \omega_{0} =\frac{1}{\sqrt{6}}\textrm{rad.s}^{-1} \end{array}\right.}\)

  Cette équation décrit donc un oscillateur harmonique (puisque\(\lambda = 0\)).

• \(4y'' + 5y' + y = 0\Rightarrow\displaystyle{  \left[\begin{array}{ll} \lambda= \frac{5}{8}\textrm{s}^{-1}  \\ \omega_{0} =\frac{1}{2}\textrm{rad.s}^{-1} \end{array}\right.}\)

  Cette équation décrit donc un oscillateur harmonique amorti en régime apériodique (puisque\(\lambda >\omega_{0}\)).