Résolution de l'équation q'' + 4 q' + 3 q = 0
Partie
Question
Résoudre l'équation différentielle \(q'' + 4 q' + 3q = 0\) associée à un oscillateur harmonique amorti. Pour cela :
Indiquer les valeurs du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre de l'oscillateur.
Écrire l'équation caractéristique.
Calculer le discriminant réduit \(\Delta '\), en déduire le type de régime.
Calculer les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}.\)
Écrire la solution générale \(q(t).\)
Solution détaillée
L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est \(\lambda = 1\)et dont la pulsation propre est \(\omega_{0} = \sqrt{3}.\) La dimension de \(\lambda\) est l'inverse d'un temps ( \(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.), celle de \(\omega_{0}\) est une pulsation (\(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.).
L'équation caractéristique s'écrit : \(r^{2} + 4r + 3 = 0.\)
Le discriminant réduit s'écrit \(\Delta ' = \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} - 3,\) soit \(\Delta ' = 2^{2} - 3 = 1.\)
Le discriminant étant positif, les deux racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes, le régime est apériodique.
Les racines ont pour expressions : \(r_{1} = - \lambda + \sqrt{\Delta '}\) et \(r_{2} = - \lambda - \sqrt{\Delta '}\), soit ici \(r_{1} = -2+1 = -1\) et \(r_{2} = -2-1 = -3.\)
La solution générale de l'équation demandée s'écrit donc :
\(\displaystyle{\begin{array} {ll} q(t) = e^{- \lambda t} (A e^{\sqrt{\Delta '}~t} + B e^{-\sqrt{\Delta '}~t}) &= e^{-2t}( A e^{t} + B e^{-t}) \\ &= A e^{-t} + B e^{-3t} \end{array}}\)
Dans cet exercice il n'est pas demandé de déterminer les constantes \(A\) et \(B.\)