Résolution de l'équation q'' + 4 q' + 7 q = 0 avec détermination des constantes

Partie

Question

  1. Résoudre l'équation différentielle \(q'' + 4 q' + 7q = 0\) associée à un oscillateur harmonique amorti. Pour cela :

    • Indiquer les valeurs du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre de l'oscillateur.

    • Écrire l'équation caractéristique.

    • Calculer le discriminant réduit \(\Delta '\), en déduire le type de régime.

    • Calculer les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}.\)

    • Écrire la solution générale \(q(t)\) sous les deux formes usuelles.

  2. Déterminer les constantes d'intégration sous ces deux formes sachant que : \(q(t = 0) = q_{0}>0\) et \(q'(t=0) = 0.\)

    En déduire les expressions complètes de la solution \(q(t).\)

    Que représente cette solution au point de vue physique ?

Solution détaillée
  1. L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est \(\lambda = 2\)et dont la pulsation propre est \(\omega_{0} = \sqrt{7}.\) La dimension de \(\lambda\) est l'inverse d'un temps ( \(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.), celle de \(\omega_{0}\) est une pulsation (\(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.).

    L'équation caractéristique s'écrit : \(r^{2} + 4r + 7 = 0.\)

    Le discriminant réduit s'écrit \(\Delta ' = \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} - 7,\) soit \(\Delta ' = 2^{2} - 7 = -3.\)

    Le discriminant étant négatif, les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées. Soient \(r_{1} = - 2 + j\sqrt{3}\) et \(r_{2} = - 2 - j\sqrt{3}\) ces racines. Le régime est pseudo-périodique.

    La solution générale de l'équation demandée peut donc s'écrire sous les formes équivalentes suivantes :

    \(q(t) = e^{-2t} (C \cos \sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3}~t)\)

    \(q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos (\sqrt{3}~t + \varphi)\) ou \(q(t) = q_{m} e^{-2t} \sin(\sqrt{3}~t + \psi)\)

  2. Détermination des constantes

    • Solution sous la forme : \(q(t) = e^{-2 t} (C \cos \sqrt{3}~ t + D \sin \sqrt{3} ~t)\)

      On exprime \(q(t)\) à l'instant initial \((t = 0)\) :

      \(q(t = 0) = q_{0}\) soit \(q(t) = e^{-2 \times 0} ( C \cos ( \sqrt{3} \times 0) + D \sin(\sqrt{3} \times 0)) = C = q_{0}\)

      On en déduit \(C = q_{0}\).

      La dérivée s'exprime :

      \(q'(t) = -2 e^{-2 t} (C \cos\sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3} ~t) + \sqrt{3} e^{-2t}(-C \sin\sqrt{3}~t + D \cos\sqrt{3}~t)\)

      A l'instant initial,\(q'(t=0)=0\), soit \(q'(t) = -2 C + \sqrt{3} ~D.\).

      Donc, \(-2 C + \sqrt{3}~D = 0\) et en remplaçant \(C\) par la valeur trouvée ci-dessus, \(D = \frac{2}{\sqrt{3}}q_{0}\).

      La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :

      \(q(t) = q_{0} e^{-2t} ( -\cos \sqrt{3}~t + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \sqrt{3}~t)\)

    • Solution sous la forme : \(q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi)\)

      On identifie les constantes à l'instant initial \((t = 0)\) :

      \(q(t = 0) = q_{0}\) soit \(q(t) = q_{m} e^{-2 \times 0} \cos ( \sqrt{3} ~\times~ 0 + \varphi) =q_{0}\).

      On en déduit \(q_{m} \cos \varphi = q_{0}\).

      La dérivée s'exprime :

      \(q'(t) = q_{m} e^{-2t} ( - 2 \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi) - \sqrt{3} \sin ( \sqrt{3} ~t + \varphi))\)

      A l'instant initial, \(q'(t=0)=0\), soit

      \(q'(t = 0) = q_{m} e^{-2*0}(-2 \cos(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi) - \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi )) = 0\)

      Donc, \(-2 \cos \varphi - \sqrt{3} \sin \varphi = 0\). Cette équation permet de déterminer \(\varphi\) :

      \(\tan \varphi = -\frac{2}{\sqrt{3}}\) ( \(\varphi\) modulo \(\pi\)), donc \(\varphi = - \textrm{0,857 rad}\) (sachant que \(\cos \varphi = \frac{q_{0}}{q_{m}}\) est ici positif).

      On rapporte cette valeur dans l'expression de \(q(t)\) à l'instant initial : \(q_{m} \cos \varphi = q_{0} \Rightarrow q_{m} = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}\).

      La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :

      \(q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t - \mathrm{0,857})\)

      \(q(t)\) décrit la loi d'évolution au cours du temps de l'oscillateur.

    Notes :

    1. Autre forme : le passage à la solution en sin est aisé si on se souvient de la relation \(\cos x = \sin( x + \frac{\pi}{2})\).

      Dans le cas proposé, la solution s'écrit donc également :

      \(q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}} e^{-2t} \sin (\sqrt{3}~t - \mathrm{0,713})\)

    2. L'unité de \(q\) est celle définie dans l'équation proposée \((\textrm{m, rad, A, ...})\)