Résolution de l'équation q'' + 4 q' + 7 q = 0 avec détermination des constantes
Partie
Question
Résoudre l'équation différentielle \(q'' + 4 q' + 7q = 0\) associée à un oscillateur harmonique amorti. Pour cela :
Indiquer les valeurs du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre de l'oscillateur.
Écrire l'équation caractéristique.
Calculer le discriminant réduit \(\Delta '\), en déduire le type de régime.
Calculer les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}.\)
Écrire la solution générale \(q(t)\) sous les deux formes usuelles.
Déterminer les constantes d'intégration sous ces deux formes sachant que : \(q(t = 0) = q_{0}>0\) et \(q'(t=0) = 0.\)
En déduire les expressions complètes de la solution \(q(t).\)
Que représente cette solution au point de vue physique ?
Solution détaillée
L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est \(\lambda = 2\)et dont la pulsation propre est \(\omega_{0} = \sqrt{7}.\) La dimension de \(\lambda\) est l'inverse d'un temps ( \(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.), celle de \(\omega_{0}\) est une pulsation (\(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.).
L'équation caractéristique s'écrit : \(r^{2} + 4r + 7 = 0.\)
Le discriminant réduit s'écrit \(\Delta ' = \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} - 7,\) soit \(\Delta ' = 2^{2} - 7 = -3.\)
Le discriminant étant négatif, les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées. Soient \(r_{1} = - 2 + j\sqrt{3}\) et \(r_{2} = - 2 - j\sqrt{3}\) ces racines. Le régime est pseudo-périodique.
La solution générale de l'équation demandée peut donc s'écrire sous les formes équivalentes suivantes :
\(q(t) = e^{-2t} (C \cos \sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3}~t)\)
\(q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos (\sqrt{3}~t + \varphi)\) ou \(q(t) = q_{m} e^{-2t} \sin(\sqrt{3}~t + \psi)\)
Détermination des constantes
Solution sous la forme : \(q(t) = e^{-2 t} (C \cos \sqrt{3}~ t + D \sin \sqrt{3} ~t)\)
On exprime \(q(t)\) à l'instant initial \((t = 0)\) :
\(q(t = 0) = q_{0}\) soit \(q(t) = e^{-2 \times 0} ( C \cos ( \sqrt{3} \times 0) + D \sin(\sqrt{3} \times 0)) = C = q_{0}\)
On en déduit \(C = q_{0}\).
La dérivée s'exprime :
\(q'(t) = -2 e^{-2 t} (C \cos\sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3} ~t) + \sqrt{3} e^{-2t}(-C \sin\sqrt{3}~t + D \cos\sqrt{3}~t)\)
A l'instant initial,\(q'(t=0)=0\), soit \(q'(t) = -2 C + \sqrt{3} ~D.\).
Donc, \(-2 C + \sqrt{3}~D = 0\) et en remplaçant \(C\) par la valeur trouvée ci-dessus, \(D = \frac{2}{\sqrt{3}}q_{0}\).
La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :
\(q(t) = q_{0} e^{-2t} ( -\cos \sqrt{3}~t + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \sqrt{3}~t)\)
Solution sous la forme : \(q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi)\)
On identifie les constantes à l'instant initial \((t = 0)\) :
\(q(t = 0) = q_{0}\) soit \(q(t) = q_{m} e^{-2 \times 0} \cos ( \sqrt{3} ~\times~ 0 + \varphi) =q_{0}\).
On en déduit \(q_{m} \cos \varphi = q_{0}\).
La dérivée s'exprime :
\(q'(t) = q_{m} e^{-2t} ( - 2 \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi) - \sqrt{3} \sin ( \sqrt{3} ~t + \varphi))\)
A l'instant initial, \(q'(t=0)=0\), soit
\(q'(t = 0) = q_{m} e^{-2*0}(-2 \cos(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi) - \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi )) = 0\)
Donc, \(-2 \cos \varphi - \sqrt{3} \sin \varphi = 0\). Cette équation permet de déterminer \(\varphi\) :
\(\tan \varphi = -\frac{2}{\sqrt{3}}\) ( \(\varphi\) modulo \(\pi\)), donc \(\varphi = - \textrm{0,857 rad}\) (sachant que \(\cos \varphi = \frac{q_{0}}{q_{m}}\) est ici positif).
On rapporte cette valeur dans l'expression de \(q(t)\) à l'instant initial : \(q_{m} \cos \varphi = q_{0} \Rightarrow q_{m} = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}\).
La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :
\(q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t - \mathrm{0,857})\)
\(q(t)\) décrit la loi d'évolution au cours du temps de l'oscillateur.
Notes :
Autre forme : le passage à la solution en sin est aisé si on se souvient de la relation \(\cos x = \sin( x + \frac{\pi}{2})\).
Dans le cas proposé, la solution s'écrit donc également :
\(q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}} e^{-2t} \sin (\sqrt{3}~t - \mathrm{0,713})\)
L'unité de \(q\) est celle définie dans l'équation proposée \((\textrm{m, rad, A, ...})\)