Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est $\lambda = 2$et dont la pulsation propre est $\omega_{0} = \sqrt{7}.$ La dimension de $\lambda$ est l'inverse d'un temps ( $\textrm{rad.s}^{-1}$ dans le système S.I.), celle de $\omega_{0}$ est une pulsation ($\textrm{rad.s}^{-1}$ dans le système S.I.).

L'équation caractéristique s'écrit : $r^{2} + 4r + 7 = 0.$

Le discriminant réduit s'écrit $\Delta ' = \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} - 7,$ soit $\Delta ' = 2^{2} - 7 = -3.$

Le discriminant étant négatif, les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées. Soient $r_{1} = - 2 + j\sqrt{3}$ et $r_{2} = - 2 - j\sqrt{3}$ ces racines. Le régime est pseudo-périodique.

La solution générale de l'équation demandée peut donc s'écrire sous les formes équivalentes suivantes :

$q(t) = e^{-2t} (C \cos \sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3}~t)$

$q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos (\sqrt{3}~t + \varphi)$ ou $q(t) = q_{m} e^{-2t} \sin(\sqrt{3}~t + \psi)$

Détermination des constantes

• Solution sous la forme : $q(t) = e^{-2 t} (C \cos \sqrt{3}~ t + D \sin \sqrt{3} ~t)$

  On exprime $q(t)$ à l'instant initial $(t = 0)$ :

  $q(t = 0) = q_{0}$ soit $q(t) = e^{-2 \times 0} ( C \cos ( \sqrt{3} \times 0) + D \sin(\sqrt{3} \times 0)) = C = q_{0}$

  On en déduit $C = q_{0}$.

  La dérivée s'exprime :

  $q'(t) = -2 e^{-2 t} (C \cos\sqrt{3}~t + D \sin \sqrt{3} ~t) + \sqrt{3} e^{-2t}(-C \sin\sqrt{3}~t + D \cos\sqrt{3}~t)$

  A l'instant initial,$q'(t=0)=0$, soit $q'(t) = -2 C + \sqrt{3} ~D.$.

  Donc, $-2 C + \sqrt{3}~D = 0$ et en remplaçant $C$ par la valeur trouvée ci-dessus, $D = \frac{2}{\sqrt{3}}q_{0}$.

  La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :

  $q(t) = q_{0} e^{-2t} ( -\cos \sqrt{3}~t + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \sqrt{3}~t)$

• Solution sous la forme : $q(t) = q_{m} e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi)$

  On identifie les constantes à l'instant initial $(t = 0)$ :

  $q(t = 0) = q_{0}$ soit $q(t) = q_{m} e^{-2 \times 0} \cos ( \sqrt{3} ~\times~ 0 + \varphi) =q_{0}$.

  On en déduit $q_{m} \cos \varphi = q_{0}$.

  La dérivée s'exprime :

  $q'(t) = q_{m} e^{-2t} ( - 2 \cos ( \sqrt{3}~t + \varphi) - \sqrt{3} \sin ( \sqrt{3} ~t + \varphi))$

  A l'instant initial, $q'(t=0)=0$, soit

  $q'(t = 0) = q_{m} e^{-2*0}(-2 \cos(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi) - \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}~\times~0 + \varphi )) = 0$

  Donc, $-2 \cos \varphi - \sqrt{3} \sin \varphi = 0$. Cette équation permet de déterminer $\varphi$ :

  $\tan \varphi = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ ( $\varphi$ modulo $\pi$), donc $\varphi = - \textrm{0,857 rad}$ (sachant que $\cos \varphi = \frac{q_{0}}{q_{m}}$ est ici positif).

  On rapporte cette valeur dans l'expression de $q(t)$ à l'instant initial : $q_{m} \cos \varphi = q_{0} \Rightarrow q_{m} = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}$.

  La solution de l'équation qui répond aux conditions initiales données s'écrit donc :

  $q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}}e^{-2t} \cos ( \sqrt{3}~t - \mathrm{0,857})$

  $q(t)$ décrit la loi d'évolution au cours du temps de l'oscillateur.

Notes :

1. Autre forme : le passage à la solution en sin est aisé si on se souvient de la relation $\cos x = \sin( x + \frac{\pi}{2})$.

   Dans le cas proposé, la solution s'écrit donc également :

   $q(t) = \frac{q_{0}}{\mathrm{0,655}} e^{-2t} \sin (\sqrt{3}~t - \mathrm{0,713})$

2. L'unité de $q$ est celle définie dans l'équation proposée $(\textrm{m, rad, A, ...})$