Loi d'évolution
Partie
On se propose de déterminer la loi d'évolution de l'oscillateur précédent, c'est-à-dire dire de calculer la solution \(x(t)\) de l'équation établie dans l'exercice précédent satisfaisant aux conditions initiales du problème (en mécanique, cette solution s'appelle équation horaire du mouvement).
Question
Calculer la solution générale de l'équation différentielle : \(x"+0,5x'+x=0,1\) (on rappelle que tous les termes de cette équation sont exprimés en unités S.I.).
Effectuer les opérations suivantes :
déterminer la solution générale \(x_{g}(t)\) de l'ESSM,
déterminer une solution particulière \(x_{p}(t)\) de l'EASM,
écrire la solution générale \(x(t)\), somme de deux précédentes.
Solution détaillée
Solution générale de l'équation sans second membre \(x'' + 0,5 x' +x = 0,1\):
l'équation caractéristique associée s'écrit : \(r^{2} + 0,5r +1=0\),
le discriminant réduit est \(\Delta ' = \lambda^{2} - \omega_{0}^{2} = 0,25^{2} - 1^{2} = - 0,937 <0\), le régime est pseudo-périodique ;
le coefficient d'amortissement de l'oscillateur est \(\lambda = \frac{0,5}{2} = \textrm{0,25 s}^{-1}\),
la pseudo-pulsation est \(\omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}} = \textrm{0,968 rad.s}^{-1}\),
et la pseudo-période est \(T_{1} = \frac{2 \pi}{\omega_{1}} =\textrm{ 6,5 s}\).
la solution générale s'écrit donc :
\(x_{g}(t) = x_{m} e^{- \lambda t} \cos(\omega_{1}t + \varphi)\), soit \(x_{g} (t) = x_{m} e^{-0,25 t} \cos(0,968 t + \varphi)\)
La solution particulière de l'équation avec second membre est ici une constante : \(\omega_{0}^{2} x_{p} = K\) donc \(x_{p} = \frac{K}{\omega_{0}^{2}} = \textrm{0,1 m}\).
Solution générale de l'équation avec second membre :
\(x(t) = x_{m} e^{-0,25 t} ~\cos(0,968 t + \varphi) + 0,1\)
donc \(x'(t) = -0,25 x_{m} e^{-0,25t} \cos(0,968t + \varphi) - 0,968 x_{m} e^{-0,25t} \sin(0,968t + \varphi)\)
Question
Déterminer les deux constantes de la solution générale sachant que les conditions initiales du problème sont \(x(t=0)=0\) et \(x'(t=0)=0\).
Solution détaillée
Calcul des constantes d'intégration \(x_{m}\) et \(\varphi\) :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll} \triangleright & x(t=0)=0 \to 0 = x_{m} \cos \varphi + 0,1 & (1) \\ \triangleright & x'(t=0)=0 \to 0 = - 0,25 x_{m} \cos \varphi - 0,968 x_{m} \sin \varphi & (2) \end{array}}\)
De la seconde équation on déduit : \(\tan \varphi = - \frac{1}{4 \times 0,968} = - 0,258 < 0\) donc \(\varphi = - 0,253\) \(\qquad\) \(\varphi\) modulo \(\pi\).
La première équation permet de déterminer le signe de \(\cos \varphi : \cos \varphi = - \frac{0,1}{x_{m}}<0\) puisque \(x_{m} >0\). On en déduit que \(\sin \varphi\) doit être \(> 0\) et que \(\frac{\pi}{2}< \varphi < \pi\) , donc \(\varphi = - 0,253 + \pi = \textrm{2,888 rad}\).
Enfin de la première équation on déduit \(x_{m} = - \frac{0,1}{\cos \varphi} = - \frac{0,1}{-0,969} = \textrm{0,103 m}\).
Question
Ecrire la solution décrivant la réponse de l'oscillateur.
Quel est le type d'oscillation décrit par \(x(t)\) ?
Solution détaillée
La solution complète, exprimée dans les unités S.I. s'écrit :
\(x(t) = 0,103 e^{-0,25t} \cos(0,968t + 2,888) + 0,1\) (\(x\) en mètre, \(t\) en seconde).
L'oscillation est forcée et amortie.