Etude en régime permanent
Partie
On considère le système amorti, constitué d'une masse \(m\) se déplaçant horizontalement sans frottement sur un plan fixe, d'un ressort de raideur \(k\) et d'un amortisseur de coefficient visqueux \(\mu\).
On applique à la masse \(m\) la force d'excitation horizontale \(\vec{F}_{exc}(t) = F_{m} \cos \Omega t \vec{e}_{x}\) (force sinusoïdale d'amplitude \(F_{m}\), de pulsation \(\Omega\) et de direction horizontale).
La masse est assimilée à un point matériel en \(M\), le référentiel \((O, \vec{e}_{x} , \vec{e}_{y})\) est galiléen.
On désigne par \(x(t)\) l'abscisse de \(m\) repérée par rapport à sa position d'équilibre \(O\), \(x(t) = \overline{OM} (t)\).
Question
Etablir le bilan des forces appliquées à la masse en mouvement.
Ecrire le principe fondamental de la dynamique relatif à \(m\) et en déduire que \(x(t)\) satisfait à l'équation différentielle :
\(x'' + 2 \lambda x' + \omega_{0}^{2} x = \frac{F_{m}}{m} \cos \Omega t\)
avec \(\lambda = \frac{\mu}{2m}\) (coefficient d'amortissement de l'oscillateur) et \(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\) (pulsation propre).
Solution détaillée
Les forces appliquées à la masse \(m\) sont : le poids \(\vec{P}\), la force de réaction du support \(\vec{R}_{n}\) (normale à celui-ci), la force de rappel du ressort \(\vec{F}_{r}\), la force d'amortissement visqueux \(\vec{F}_{d}\) et la force d'excitation \(\vec{F}_{exc}\).
Les différents termes s'expriment en fonction de la base vectorielle \(\vec{e}_{x}\), \(\vec{e}_{y}\):
\(\vec{P} = - mg \vec{e}_{y}\),\(\vec{R}_{n} = R \vec{e}_{y}\),\(\vec{F}_{r} = - kx \vec{e}_{x}\), \(\vec{F}_{d} = - \mu x' \vec{e}_{x}\) et \(\vec{F}_{exc} (t) = F_{m} \cos \Omega t \vec{e}_{x}\);
le mouvement étant horizontal, \(\vec{\gamma} = \gamma \vec{e}_{x} = x'' \vec{e}_{x}\).
Le repère de l'observateur étant supposé galiléen, le P.F.D. appliqué à \(m\) à un instant \(t\), s'écrit :
\(\vec{P} + \vec{R}_{n} + \vec{F}_{r} + \vec{F}_{d} + \vec{F}_{exc} = m \vec{\gamma}\)
Par projection sur la direction verticale (c'est-à-dire en faisant le produit scalaire des deux membres de l'équation vectorielle par \(\vec{e}_{y}\)), on obtient la relation scalaire :
\(-mg + R = 0\)
Par projection sur la direction horizontale :
\(-kx - \mu x' + F_{m} \cos \Omega t = m x''\)
Soit, en ordonnant les termes :
\(x'' + 2 \lambda x' + \omega_{0}^{2} x = \frac{F_{m}}{m} \cos \Omega t\)
Question
On suppose que les valeurs de \(\lambda\) et \(\omega_{0}\) sont telles que le régime correspondant à l'ESSM est pseudo-périodique.
Rappeler l'expression de la solution générale \(x_{g}(t)\) de l'ESSM.
Rappeler l'expression de la solution particulière \(x_{p}(t)\) de l'EASM.
Rappeler l'expression de la solution générale \(x(t)\) de l'EASM (équation complète). Préciser quels sont les termes qui décrivent respectivement les régimes transitoires et permanent.
Rappel de cours
Régime transitoire, régime permanent
L'oscillateur amorti soumis à une excitation extérieure évolue d'abord en régime transitoire, suivant la loi \(x(t) = x_{g}(t) + x_{p}(t)\) puis en régime permanent, suivant la loi \(x(t) \approx x_{p}(t)\).
\(x_{g}(t)\), solution générale de l'ESSM est appelé solution transitoire,
\(x_{p}(t)\), solution particulière de l'EASM est appelé solution permanente.
Les régimes transitoire et permanent sont des régimes forcés.
Solution détaillée
L'ESSM admet pour solution générale (régime pseudo-périodique) :
\(x_{g}(t) = x_{m} e^{- \lambda t} \cos (\omega_{1} t + \varphi )\) avec \(\omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}\).
La solution particulière de l'EASM est une fonction sinusoïdale de pulsation \(\Omega\):
\(x_{p}(t) = x_{pm} \cos (\Omega t + \Phi_{p})\)
La solution générale de l'EASM s'écrit :
\(x(t) = x_{g}(t) + x_{p}(t) = x_{m} e^{- \lambda t} \cos (\omega_{1} t + \varphi) + x_{pm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\)
Cette expression, somme de deux termes, décrit le régime transitoire. La prise en compte des conditions initiales, à partir de cette expression, conduit à la détermination des constantes \(x_{m}\) et \(\varphi\) intervenant dans le premier terme. Or ce premier terme décroît lorsque le temps augmente. Les termes dépendant des conditions initiales ne jouent donc plus aucun rôle dans le régime permanent décrit par \(x_{p}(t)\).
Comme habituellement, on ne s'intéresse qu'au régime permanent, on ne demande pas de déterminer ces constantes.
Question
On s'intéresse exclusivement au régime permanent, et on suppose que \(j \Omega\) n'est pas solution de l'ESSM.
Donner l'expression de la solution \(x(t)\) en utilisant la représentation complexe de l'équation différentielle. En déduire les expressions de l'amplitude et de la phase initiale de \(x(t)\) en régime permanent.
Rappel de cours
Représentation complexe d'une grandeur réelle sinusoïdale fonction du temps
A toute grandeur réelle sinusoidale fonction du temps \(q(t)\) d'amplitude \(q_{m}\), de pulsation \(\omega\) et de phase à l'origine du temps \(\varphi\), on associe :
la grandeur complexe fonction du temps \(\underline{q(t)}\) de module \(q_{m}\) et d'argument \(\omega t + \varphi\)
l'amplitude complexe \(\underline{Q_{m}}\) de module \(q_{m}\) et d'argument \(\varphi\).
\(q(t) = q_{m} \cos(\omega t + \varphi) \Leftrightarrow \underline{q(t)} = q_{m} e^{j(\omega t + \varphi)} \Leftrightarrow \underline{Q_{m}} = q_{m} e^{j \varphi}\)
\(R_{e}~ \underline{q(t)} = q(t)\)
Remarquons que : \(\underline{q(t)} = \underline{Q_{m}} e^{j \omega t}\)
Propriétés :
L'opération dérivation par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(j \omega\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
\(q'(t) \Leftrightarrow j \omega~ \underline{q(t)} \Leftrightarrow j \omega ~\underline{Q_{m}}\)
\(q''(t) \Leftrightarrow - \omega^{2} \underline{q(t)} \Leftrightarrow - \omega ^{2} \underline {Q_{m}}\)
L'opération intégration par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(\frac{1}{j \omega }\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
\(\int q(t) ~\textrm{d}t \Leftrightarrow \frac{1}{j \omega} ~\underline {q(t)} \Leftrightarrow \frac{1}{j \omega } ~\underline {Q_{m}}\)
Solution détaillée
En régime permanent la position de la masse \(x(t)\), repérée par rapport à la position d'équilibre s'écrit :
\(x(t) \approx x_{p}(t) = x_{pm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\)
\(x_{p}(t)\) étant la solution particulière de l'EASM.
On confond en général les deux fonctions \(x(t)\) et \(x_{p}(t)\) et l'on écrit :
\(x(t) = x_{pm} \cos( \Omega t + \Phi_{p})\)
Les expressions de l'amplitude \(x_{pm}\) et de la phase \(\Phi_{p}\) s'obtiennent à partir de la représentation en amplitude complexe de l'équation différentielle du mouvement :
\(x'' + 2 \lambda x' + \omega_{0}^{2} x = \frac{F_{m}}{m} \cos \Omega t \quad (1)\)
Ecrivons les correspondances :
\(\begin{array}{ccccc} \textrm{Grandeur r\'eelle instantan\'ee} & & \textrm{Grandeur complexe instantan\'ee} & & \textrm{Amplitude complexe} \\\\ x(t)= x_{pm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p} ) & \Leftrightarrow & \underline {x(t)} = x_{pm} e^{j (\Omega ~t + \Phi_p)} & \Leftrightarrow & \underline {X_{pm}} = x_{pm} e^{j \Phi_p} \\\\ x' & \Leftrightarrow & j \Omega ~\underline {x(t)} & \Leftrightarrow & j \Omega~ \underline{X_{pm}} \\\\ x'' & \Leftrightarrow & - \Omega^{2}~\underline{x(t)} & \Leftrightarrow & -\Omega^{2} ~\underline{X_{pm}} \\\\ \frac{F_{m}}{m} \cos \Omega t & \Leftrightarrow & \frac{F_{m}}{m}e^{j \Omega t} & \Leftrightarrow & \frac{F_{m}}{m} \end{array}\)
Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation (1). Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes :
\(- \Omega^{2} \underline{X_{pm}} + 2 \lambda j \Omega ~\underline{X_{pm}} + \omega_{0}^{2}~ \underline{X_{pm}} = \frac{F_{m}}{m}\)
En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme \(\underline{X_{pm}} = x_{pm} e^{j \Phi_{p}}\), nous obtenons l'équation complexe recherchée :
\(\big[(\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j(2 \lambda \Omega) \big] x_{pm} e^{j \Phi_{p}} = \frac{F_{m}}{m} \quad (2)\)
Nous en déduisons l'amplitude complexe : \(x_{pm} e^{j \Phi_{p}} = \frac{\frac{F_{m}}{m}}{( \omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j( 2 \lambda \Omega)} \quad (3)\)
Remarque : Autre méthode de calcul
On écrit la représentation complexe instantanée de l'équation différentielle (1). Les grandeurs réelles instantanées sont remplacées dans ce cas par les grandeurs complexes instantanées correspondantes. L'équation complexe obtenue est :
\(\big[ (\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j( 2 \lambda \Omega) \big] x_{pm} e^{j(\Omega~t + \Phi_{p})} = \frac{F_{m}}{m} e^{j \Omega~t}\)
Cette équation est vérifiée à tout instant \(t\), en simplifiant les deux membres par le terme temporel \(e^{j \Omega~ t}\), on retrouve l'équation (2) et par suite l'équation (3) du calcul précédent.
Les deux méthodes conduisent aux mêmes résultats, la représentation en amplitude complexe est plus directe. Il est conseillé d'utiliser cette représentation.
Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type \(\underline{Z_{1}} = \frac{\underline{Z_{2}}}{\underline{Z_{3}}}\), est équivalente aux deux égalités suivantes :
égalité des modules : \(|\underline{Z_{1}} | = \frac{|\underline{Z_{2}}|}{|\underline{Z_{3}}|} \Rightarrow x_{pm} = \frac{\frac{F_{m}}{m}}{\sqrt{( \omega_{0}^{2} - \Omega^{2})^{2} + ( 2 \lambda \Omega)^{2}}}\)
égalité des arguments :\(\textrm{arg } \underline{Z_{1}} = \textrm{arg } \underline{Z_{2}} - \textrm{arg } \underline{Z_{3}} \Rightarrow \Phi_{p} = 0 - Arc\tan\frac{2 \lambda \Omega}{\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}}\) ou \(\tan ~\Phi_{p} = - \frac{2 \lambda \Omega}{\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}}\)
La réponse \(x(t)\) de l'oscillateur en régime permanent est déterminée.
Question
On donne : \(m = \textrm{1 kg}\),\( k =\textrm{1 N.m}^{-1}\), \(\mu = \textrm{0,5 N.s.m}^{-1}\), \(F_{m} =\textrm{0,1 N}\) et \(\Omega =\textrm{5 rad.s}^{-1}\).
Tracer les graphes de \(f(t) = F_{m} \cos \Omega ~t\) et de \(x(t)\).
Solution détaillée
Avec les données on calcule \(\lambda =\textrm{ 0,25 s}^{-1}\) et \(\omega_{0}=\textrm{1 rad.s}^{-1}\) puis \(x_{pm} =\textrm{4,18 mm}\) et \(\Phi_{p}=\textrm{0,10 rad}\).
Sur ce graphe, les forces sont exprimées en newton, l'élongation en millimètre et le temps en seconde. Pour des raisons de lisibilité, c'est la fonction \(10 ~f (t)\) qui est représentée.
En l'absence de données sur les conditions initiales, on a supposé que le régime permanent est atteint au bout d'un temps inférieur ou égal à \(\textrm{3 s}\). Ne connaissant pas le régime transitoire, nous n'avons pas représenté le diagramme de la réponse pour les temps inférieurs à \(\textrm{3 s}\).