Intensité en régime permanent sinusoïdal
Partie
Un générateur de tension de f.e.m. sinusoïdale \(u(t) = U_{m} \cos \Omega ~t\) est branché aux bornes d'un circuit série formé d'une bobine d'inductance \(L\), d'une résistance \(R\) et d'un condensateur de capacité \(C\) initialement déchargé.
Soit \(i(t)\) l'intensité instantanée du circuit.
Question
Montrer en établissant l'équation différentielle satisfaite par \(i(t)\) que le système se comporte comme un oscillateur harmonique forcé. Donner les expressions du coefficient d'amortissement, de la pulsation propre et du facteur de qualité de l'oscillateur.
Solution détaillée
Etablissons l'équation différentielle satisfaite par l'intensité. A tout instant la différence de potentiel aux bornes du générateur est égale à la somme des différences de potentiel aux bornes de \(R\), de \(L\) et de \(C\) : \(u = u_{R} + u_{L} + u_{C}\).
Représentation du circuit à un instant t
Compte tenu du choix de l'intensité et des règles de signes habituelles, il vient :
\(Ri + L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i dt = U_{m} \cos \Omega t \qquad (1)\)
et en dérivant par rapport au temps les deux membres de (1) :
\(\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + \frac{R}{L} \frac{di}{dt} + \frac{1}{LC} i = -\Omega \frac{U_{m}}{L} \sin \Omega t = \frac{\Omega U_{m}}{L} \cos ( \Omega t + \frac{\pi}{2}) \qquad (2)\)
équation caractéristique d'un oscillateur harmonique forcé, de coefficient d'amortissement \(\lambda = \frac{R}{2L}\), de pulsation propre \(\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) et de facteur de qualité \(Q = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\).
Question
Déterminer à partir de la représentation complexe de l'équation différentielle, l'expression de \(i(t)\) en régime permanent. Déterminer l'impédance complexe du circuit étudié.
Rappel de cours
Représentation complexe d'une grandeur réelle sinusoïdale fonction du temps
A toute grandeur réelle sinusoidale fonction du temps \(q(t)\) d'amplitude \(q_{m}\), de pulsation \(\omega\) et de phase à l'origine du temps \(\varphi\), on associe :
la grandeur complexe fonction du temps \(\underline{q(t)}\) de module \(q_{m}\) et d'argument \(\omega t + \varphi\)
l'amplitude complexe \(\underline{Q_{m}}\) de module \(q_{m}\) et d'argument \(\varphi\).
\(q(t) = q_{m} \cos(\omega t + \varphi) \Leftrightarrow \underline{q(t)} = q_{m} e^{j(\omega t + \varphi)} \Leftrightarrow \underline{Q_{m}} = q_{m} e^{j \varphi}\)
\(R_{e}~ \underline{q(t)} = q(t)\)
Remarquons que : \(\underline{q(t)} = \underline{Q_{m}} e^{j \omega t}\)
Propriétés :
L'opération dérivation par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(j \omega\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
\(q'(t) \Leftrightarrow j \omega~ \underline{q(t)} \Leftrightarrow j \omega ~\underline{Q_{m}}\)
\(q''(t) \Leftrightarrow - \omega^{2} \underline{q(t)} \Leftrightarrow - \omega ^{2} \underline {Q_{m}}\)
L'opération intégration par rapport au temps de la grandeur réelle instantanée, correspond à l'opération multiplication par \(\frac{1}{j \omega }\) de la grandeur complexe instantanée ou de l'amplitude complexe :
\(\int q(t) ~\textrm{d}t \Leftrightarrow \frac{1}{j \omega} ~\underline {q(t)} \Leftrightarrow \frac{1}{j \omega } ~\underline {Q_{m}}\)
Solution détaillée
En régime permanent la solution générale \(i(t)\) de l'équation différentielle (1) ou (2), EASM, est très peu différente de la solution particulière \(i_{p}(t)\) de cette même équation, soit : \(i(t) \approx i_{p} (t) = I_{pm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\).
On confond habituellement les deux fonctions et l'on écrit :
\(i(t) = i_{p}(t) = I_{pm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\)
Les expressions de l'amplitude \(I_{pm}\) et de la phase \(\Phi_{p}\) s'obtiennent à partir de la représentation en amplitude complexe de l'équation (1) ou de l'équation (2). Choisissons l'équation (1).
Ecrivons les correspondances :
\(\begin{array}{ccccc} \textrm{Grandeur r\'eelle instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{Grandeur complexe instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{Amplitude complexe} \\\\ i(t) = I_{pm}~ \cos (\Omega ~t + \Phi_{p}) & \Leftrightarrow & \underline {i (t)} = I_{pm}~ e^{j~(\Omega ~ t + \Phi_p)} & \Leftrightarrow & \underline {I_{pm}} = I_{pm}~e^{j \Phi_p} \\\\ \frac{\textrm{d } i}{\textrm{d } t} & \Leftrightarrow & j ~\Omega ~\underline {i(t)} & \Leftrightarrow & j ~\Omega~ \underline{I_{pm}} \\\\ \int i \textrm{ d}t & \Leftrightarrow & \frac{1}{j \Omega}~\underline{i(t)} & \Leftrightarrow & \frac{1}{j \Omega} ~\underline{I_{pm}} \textrm{ ou } \frac{-j}{\Omega}~\underline{I_{pm}} \\\\ u(t)=U_{m}~ \cos \Omega t & \Leftrightarrow & \underline{u(t)}=U_{m}~e^{j~\Omega~t} & \Leftrightarrow & \underline{U_{m}}=U_{m} \end{array}\)
\(\qquad\)
Remarque :
Les relations ci-dessus s'écrivent également en fonction des valeurs efficaces, réelles et complexes, de \(i(t)\) et de \(u(t)\), soient respectivement :
\(I_{p} = \frac{I_{pm}}{\sqrt{2}}\), \(U = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\), \(\underline{I_{p}} = \frac{\underline{I_{pm}}}{\sqrt{2}} \textrm{ et } \underline{U} = \frac{\underline{U_{m}}}{\sqrt{2}}\)
Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation (1).
Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes. En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme \(\underline {I_{pm}} = I_{pm}~e^{j ~\Phi_{p}} \), nous obtenons l'équation complexe :\(\bigg[ R + j(L \Omega - \frac{1}{C \Omega} ) \bigg]~I_{pm}~e^{j ~\Phi_{p}} = U_{m}\).
Nous en déduisons l'amplitude complexe \(I_{pm}~e^{j ~\Phi_{p}} = \frac{U_{m}}{R + j(L \Omega - \frac{1}{C \Omega})} \quad (3)\).
Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type \(\underline{Z_{1}} = \frac{\underline{Z_{2}}}{\underline{Z_{3}}}\) , est équivalente aux deux égalités suivantes :
égalité des modules : \(|\underline{Z_{1}} | = \frac{|\underline{Z_{2}}|}{|\underline{Z_{3}}|} \Rightarrow I_{pm} = \frac{U_{m}}{\sqrt{ R^{2} + (L \Omega - \frac{1}{C \Omega})^{2}}}\)
égalité des arguments : \(\textrm{arg } \underline{Z_{1}} = \textrm{arg } \underline{Z_{2}} - \textrm{arg } \underline{Z_{3}} \Rightarrow \Phi_{p} = 0 - \textrm{Arc}\tan\frac{L \Omega - \frac{1}{C \Omega}}{R}\) ou \(\tan ~\Phi_{p} = - \frac{L \Omega - \frac{1}{C \Omega}}{R}\)
L'intensité en régime permanent \(i(t) = I_{pm} ~\cos( \Omega~t + \Phi_{p})\) est déterminée.
L'impédance complexe du circuit \((R,L,C)\) se déduit de (3) sachant que \(\underline{u(t)} = \underline{Z} ~\underline{i(t)}\) ou \(\underline{U_{m}} = \underline {Z} ~\underline{I_{pm}}\) (relation entre les amplitudes complexes), soit :
\(\underline{Z} = \frac{\underline{U_{m}}}{\underline{I_{pm}}} = R + j ~( L \Omega - \frac{1}{C \Omega})\)
\(\qquad\)
Remarque :
Les même résultats sont obtenus à partir de l'équation différentielle (2), l'amplitude complexe correspondante au terme réel \(\frac{\textrm{d}^{2} i}{\textrm{d } t^{2}}\) étant \(- \Omega^{2} \underline{I_{pm}}\).