Résonance en tension aux bornes du condensateur
Partie
On considère le circuit électrique \((R,L,C)\) étudié dans l'exercice précédent. La fréquence du générateur de tension varie de \(0\) à \(10 \textrm{ KHz}\).
On se propose d'étudier la résonance en tension aux bornes du condensateur : on se limite dans cet exercice à l'étude de la variation de l'amplitude de cette tension en fonction de la pulsation, soit la fonction \(A_{m}(\Omega)\).
Question
Comparer les expressions de l'amplitude de la d.d.p. aux bornes du condensateur et de l'amplitude des oscillations du système amorti (masse, ressort), en régime permanent et dans le cas d'une excitation harmonique.
Rappel de cours
Résonance d'amplitude, résonance de tension
Rappel de résultats relatifs à un système amorti « masse, ressort » et à un circuit série \((R,L,C)\), en régime permanent et pour une excitation harmonique de pulsation \(\Omega\).
Solution détaillée
Les réponses, en régime permanent sinusoïdal, des deux oscillateurs électrique et mécanique s'expriment par les fonctions en \(\Omega\) identiques : \(A_{m}(\Omega)\) et \(x_{pm}(\Omega)\), le terme \(\frac{U_{m}}{LC}\) correspondant au terme \(\frac{F_{m}}{m}\).
Question
Par analogie avec les résultats obtenus dans le cas de l'oscillateur mécanique :
Donner l'expression de la pulsation de résonance en tension \(\Omega_{r}\) du circuit et discuter l'existence de cette résonance.
Donner les expressions des amplitudes pour les valeurs \(\Omega = 0\) et \(\Omega = \Omega_{r}\).
Calculer le facteur de surtension à la résonance \(S\).
Comparer ce facteur \(S\) et le facteur de qualité \(Q\) du circuit.
Solution détaillée
Les résultats demandés sont :
pulsation de résonance : \(\Omega_{r} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - 2 \lambda^{2}} = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{2L^{2}}}\)
la résonance en tension aux bornes du condensateur existe à la condition que la quantité sous le radical soit strictement positive, soit :\(\frac{1}{\sqrt{C}} > \frac{R}{\sqrt{2L}}\).
amplitudes : \(A_{m}(\Omega = 0) = \frac{\frac{U_{m}}{LC}}{\omega_{0}^{2}} = U_{m} \qquad A_{m}(\Omega = \Omega_{r}) = \frac{\frac{U_{m}}{LC}}{2 \lambda \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}} = \frac{U_{m}}{RC\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4 L^{2}}}}\)
facteur de surtension : \(S = \frac{A_ {m}(\Omega = \Omega_{r})}{U_{m}} = \frac{1}{RC \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4 L^{2}}}}\)
facteur de surtension \(S\) et facteur de qualité \(Q\) :
\(S = \frac{\frac{U_{m}}{LC}}{2 \lambda \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}} \frac{1}{\frac{\frac{U_{m}}{LC}}{\omega_{0}^{2}}} = \frac{\omega_{0}^{2}}{2 \lambda \sqrt{\omega_{0}^{2} \bigg(1 - \frac{\lambda^{2}}{\omega_{0}^{2}} \bigg)}} = Q \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4 Q^{2}}}}\)
en notant que \(Q = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\)
Question
Application numérique :
On donne \(L = \textrm{0,1 H}\), \(C = \mathrm{0,1 } \mu \textrm{F}\) .Calculer la pulsation propre, la fréquence propre, le coefficient d'amortissement, le facteur de qualité et le facteur de surtension pour les deux valeurs de la résistance \(R_{1} = 100 ~\Omega\) et \(R_{2} = 1 \textrm{ k}\Omega\).
Commenter les résultats obtenus.
Solution détaillée
Application numérique : les valeurs numériques demandées sont :
\(\omega_{0} = 10 ^{4} \textrm{ rad.s}^{-1}\) et \(f_{0} = \frac{10^{4}}{2 \pi} = 1592 \textrm{ Hz} \approx \textrm{1,5 kHz}\)
Pour \(R_{1} = 100 ~\Omega\):
\(\lambda_{1} = \textrm{500 rad.s}^{-1}\) (ou \(\Omega.\textrm{H}^{-1}\)),\(Q_{1} = 10\),\(S_{1} = 10 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4 \times 100}}} \approx 10\)
Pour \(R_{2} = \textrm{1 k}\Omega\):
\(\lambda_{2} = 5000 \textrm{ rad.s}^{-1}\)( ou \(\Omega.\textrm{H}^{-1}\)), \(Q_{2} = 1\) , \(S_{2} = 1 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4 \times 1}}} = \mathrm{1,155} \approx \mathrm{1,2}\)
Commentaires :
Pour les deux valeurs de la résistance, la condition \(\lambda < \frac{\omega_{0}}{\sqrt{2}}\) est vérifiée, il y a bien une résonance de tension aux bornes du condensateur.
Le circuit présentant l'amortissement le plus faible correspond à la valeur \(R_{1}\) de la résistance : dans ce cas le facteur de qualité et la surtension à la résonance présentent les valeurs les plus élevées comparativement aux deux circuits considérés.