Ondes électromagnétiques

Les relations entre le champ électrique et le champ magnétique lors de la propagation d'une onde électromagnétique plane vont se déduire des équations de Maxwell :

\(\overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} ~~\) et \(~~ \overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec B = \varepsilon . \mu . \frac{\partial \vec E}{\partial t}\)

Considérons tout d'abord un champ de vecteurs \(\vec A\) quelconque, se propageant par onde plane dans la direction et le sens des \(z\) croissants. Ce vecteur s'exprimera :

• soit directement comme fonction des variables \(z\) et \(t\),

• soit comme fonction de la variable intermédiaire \(\phi = z - V.t\)

Dans ces conditions, il vient immédiatement :

\(\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} \frac{\partial \phi}{\partial x} = 0 ~,\quad \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} \frac{\partial \phi}{\partial y} = 0~ ,\quad \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} ~,\quad \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} \frac{\partial \phi}{\partial t} = - V \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi}\)

\(\vec A\) se propageant par onde plane dans la direction \(z\), les dérivées par rapport à \(x\) et \(y\) sont nulles.

En notant par un "prime" les dérivées par rapport à la variable \(\phi\), on obtient :

\(\overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec A = \left| \begin{array}{c} -\frac{\partial}{\partial z} (A_y) \\ \frac{\partial}{\partial z} (A_x) \\ 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} (A_y) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi} (A_x) \\ 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} -A'_y \\ -A'_x \\ 0 \end{array} \right|\)

En calculant le produit vectoriel, on vérifie alors que :

Application aux vecteurs \(\vec E\) et \(\vec B\) :

\(\begin{array}{ccccc} \overrightarrow{\textrm{rot }} \vec E = \vec k \wedge \vec E' \\& & & \Rightarrow & \vec B' = \frac{1}{V} \vec k \wedge \vec E' \\ \overrightarrow{\textrm{rot }} \mathrm{ } \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} = + V \frac{\partial \vec B}{\partial \phi} = V . \vec B' \\ \\ \\ \overrightarrow{\textrm{rot }} \mathrm{ } \vec B = \vec k \wedge \vec B' \\ & & & \Rightarrow & \vec E' = - V \vec k \wedge \vec B' \\ \overrightarrow{\textrm{rot }} \mathrm{ } \vec B = \varepsilon . \mu \frac{\partial \vec E}{\partial t} = \frac{1}{V^2} (-V) \frac{\partial \vec E}{\partial \phi} = - \frac{1}{V} . \vec E' \end{array}\)

\(\qquad\)

Dans les 2 relations de la colonne de droite, \(V\) vitesse de propagation ainsi que \(\vec k\) vecteur unitaire dans le sens de la propagation sont constants.

Leur intégration par rapport à \(\phi\) fournit donc des relations de même forme entre les primitives, à une constante d'intégration près.

Ces constantes d'intégration sont des constantes par rapport à \(\phi\), c'est-à-dire sont des invariants dans la translation en \(z\) en fonction du temps \(t\).

De façon très générale, en appelant \(\vec u\) le vecteur unitaire dans le sens de la propagation et en se limitant aux parties variables des champs, la propagation d'une onde électromagnétique plane satisfait les relations :

Conséquences immédiates :

• le trièdre \(( \vec E, \vec B, \vec u )\) est direct : \(\left| \begin{array}{c} \vec E \perp \vec u \\ \vec B \perp \vec u \\ \vec E \perp \vec B \end{array} \right.\)

• et \(|| \vec E || = V . || \vec B ||\)