Ondes électromagnétiques

Par projection sur \(\vec v\) de l'égalité vectorielle obtenue au § A.6.c, on élimine cette fois le vecteur \(\vec e_r\) qui lui est orthogonal. On obtient alors :

\(C \exp j [ \omega_i t - K_i . (\alpha_i .x) ] = D \exp j [ \omega_t t - K_t. (\alpha_t . x + \beta_t . y) + \phi_t ]\)

La seule différence avec le résultat précédent sera donc liée au fait que les ondes incidente et transmise ne se propagent pas dans le même milieu, donc à priori, pas à la même vitesse.

Comme on l'a fait précédemment, on développe cette expression et on regroupe les facteurs des mêmes variables. Les résultats sont les suivants :

• Conséquences de \(K_t \beta_t = 0\) (avec \(K_t \ne 0\)) :

  \(\Rightarrow ~~~~\beta_t = 0\) : le plan de réfraction est confondu avec le plan d'incidence : \(\beta_i = 0\)

  \(\frac{D}{C} \exp (j \phi_t) = 1 ~~ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lccclll} \textrm{soit : } C = D && \textrm{et} && \exp (j \phi_t) = +1 && \textrm{ i.e. } \phi_t = (2n).\pi \\ \textrm{soit : } C = - D && \textrm{et} && \exp (j \phi_t) = -1 && \textrm{ i.e. } \phi_t = (2n + 1).\pi \end{array}\right.\)

  Dans tous les cas (en \(Z=0\)), l'onde transmise est en phase avec l'onde incidente...

• Conséquences de \(\omega_i = \omega_t = \omega\)

  Les ondes incidente et transmise ne se propagent pas dans le même milieu :

  elles n'ont donc pas la même vitesse.

  [avec \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\)] \(~ \Rightarrow ~~~~\) Ces ondes ont même fréquence \(\nu\), même période \(T\), mais pas la même longueur d'onde :

  \(\lambda_i = \frac{2 \pi}{\omega} . V_i ~~\) et \(~~ \lambda_t = \frac{2 \pi}{\omega} . V_t\)

• Conséquences de \(K_i . \alpha_i = K_t . \alpha_t\) :

  \(\Rightarrow ~~~~\) Leur vecteur d'onde n'a pas le même module : \(K_i \ne K_t\)

  \(K_i = \frac{2 \pi}{\lambda_i} = \frac{2 \pi}{V_i T_i} = \frac{2 \pi}{V_i T}~\) et \(K_t = \frac{2 \pi}{\lambda_t} = \frac{2 \pi}{V_t T_t} = \frac{2 \pi}{V_t T}\)

  \(\Rightarrow ~~~~ \frac{K_i}{K_t} = \frac{V_t}{V_i} = \frac{n_1}{n_2}\)

  \(\frac{K_i}{K_t} = \frac{\alpha_t}{\alpha_i} ~~~~~~\) \(\begin{array}{cc} \Rightarrow & n_1 . \alpha_i = n_2 . \alpha_t \\ \Rightarrow & n_1 . \sin i_1 = n_2 . \sin i_2 \end{array}\)