\(div~\vec e\land\vec b=\frac{\partial}{\partial x}[e_yb_z-e_zb_y]+\frac{\partial}{\partial y}[e_zb_x-e_xb_z]+\frac{\partial}{\partial z}[ e_xb_y-e_yb_x]\)
\(\vec b.\vec{rot}~\vec e=b_x[\frac{\partial e_z}{\partial y}-\frac{\partial e_y}{\partial z}]+b_y[\frac{\partial e_x}{\partial z}- \frac{\partial e_z}{\partial x}]+b_z[\frac{\partial e_y}{\partial x}-\frac{\partial e_x}{\partial y}]\)
\(\vec e.\vec{rot}~\vec b=e_x[\frac{\partial b_z}{\partial y}-\frac{\partial b_y}{\partial z}]+e_y[\frac{\partial b_x}{\partial z}- \frac{\partial b_z}{\partial x}]+e_z[\frac{\partial b_y}{\partial x}-\frac{\partial b_x}{\partial y}]\)
\(\vec b.\vec{rot}~\vec e-\vec e.\vec{rot}~\vec b=\begin{array} {l} -b_y\frac{\partial e_z}{\partial x}+b_z\frac{\partial e_y}{\partial x}+e_y\frac{\partial b_z}{\partial x}-e_z\frac{\partial b_y} {\partial z} \equiv \frac{\partial}{\partial x}[e_yb_z-e_zb_y] \\ -b_z\frac{\partial e_x}{\partial y}+b_x\frac{\partial e_z}{\partial y}+e_z\frac{\partial b_z}{\partial y}-e_x\frac{\partial b_z} {\partial y} \equiv \frac{\partial}{\partial y}[e_zb_x-e_xb_z] \\ -b_x\frac{\partial e_y}{\partial z}+b_y\frac{\partial e_z}{\partial y}+e_x\frac{\partial b_y}{\partial z}-e_y\frac{\partial b_x} {\partial z} \equiv \frac{\partial}{\partial z}[e_xb_y-e_yb_x] \end{array}\)
\(\Rightarrow\vec b.\vec{rot}~\vec e-\vec e.\vec{rot}~\vec b=div(\vec E\land\vec B)\)
Remarque : ces calculs sont longs et fastidieux et il est indispensable d'avoir un moyen de contrôle : vérifiez que les expressions ci-dessus peuvent se contrôler par permutation des indices, dans l'ordre \(x, y, z\) (cette permutation porte simultanément sur les indices et sur les variables de dérivation).
2. Pour démontrer la relation : \(div(\vec E\land\vec B)=-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{B^2}{2}+\varepsilon\mu\frac{E^2}{2})\)
on applique la relation précédente aux champs électrique et magnétique :
\(\Rightarrow div(\vec E\land\vec B)=\vec B.\vec{rot}~\vec E-\vec E.\vec{rot}~\vec B\)
Maxwell (en dehors des courants) \(\Rightarrow \left|\begin{array}{l} \vec{rot}~\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\ \vec{rot}~\vec B=\mu_0\vec j+\varepsilon\mu\frac{\partial\vec E}{\partial t}=\varepsilon\mu\frac{\partial\vec E} {\partial t} \end{array} \right.\)
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\(div(\vec E\land\vec B)=-\vec B.\frac{\partial\vec B}{\partial t}-\varepsilon\mu\vec E.\frac{\partial\vec E}{\partial t}=- \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(B^2+\varepsilon\mu E^2)\)
Le vecteur de Poynting est : \(\vec S=\frac{1}{\mu}\vec E\land\vec B \Rightarrow div~\vec S=-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{B^2}{2\mu}+\frac{\varepsilon E^2}{2})\)
3. La densité d'énergie dans un volume t est : \(w=\frac{B^2}{2\mu}+\frac{\varepsilon E^2}{2}\Rightarrow div~\vec S=-\frac{\partial}{\partial t}w\)
\(\Rightarrow \iiint_{(\tau)}div~\vec S.d\tau=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{(\tau)}w.d\tau=-\frac{\partial W}{\partial t}\) où \(W\) est l'énergie contenue dans le volume (\(t\)).
4. L'onde qui se propage est plane \(\begin{array}{ll} \Rightarrow &\textrm{prenons }\quad \vec E\textrm{ selon }\vec i, ~ \vec B\textrm{ selon }\vec j \\ &\textrm{ et la propagation selon }\vec k \\\\ \Rightarrow & \vec B=\frac{1}{c}\vec u\land\vec E \quad \vec B=\frac{E}{c}\vec k\land\vec i=\frac{E}{c}\vec j \\ &\textrm{avec }\vec u=\vec k \quad \textrm{ et }\quad B=\frac{E}{c} \end{array}\)
\(W_{\textrm{\'elec}}=\frac{\varepsilon}{2}E_2\)
\(W_{magn}=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{E^2}{c^22\mu}=\frac{\varepsilon E^2}{2c^2\varepsilon\mu}\) avec \(c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\Rightarrow c^2\varepsilon\mu=1\Rightarrow W_{magn}=\frac{\varepsilon}{2}E^2\)
\(\vec S=\frac{1}{\mu}\vec E\land\vec B\), \(\qquad\) \(\vec E\land\vec B\) est dans le sens du vecteur unitaire \(\vec u\) de la propagation.
5. On choisit la même orientation que dans la question précédente. La propagation de l'onde plane harmonique dans le sens de \(z\) croissant se représente par une fonction du type \(\cos(\omega t - Kz)\) [à un déphasage près que l'on peut choisir nul si les conditions initiales ne s'y opposent pas]
\(\left. \begin{array}{lll} E_x=E_0\cos(\omega t-Kz)\\\\ B_y=\frac{E_0}{c}\cos(\omega t-Kz)\end{array}\right| \begin{array}{lll} && \\\Rightarrow \vec S \textrm{ est sur } \vec k=\vec u :~ S_z &=& \frac{1}{\mu}E_x.B_y \\ &=& \frac{E_0^2}{\mu c}\cos^2(\omega t-Kz) \end{array}\)
\(\begin{array}{lll} \textrm{ Sachant que }\varepsilon \mu c^2=1&\Rightarrow &\frac{1}{\mu c}=\varepsilon ~c \\ &\Rightarrow &S_z=\frac{E^2_0}{\mu c}\cos^2(\omega t-Kz)\equiv c.\varepsilon E_x^2\equiv c[\frac{\varepsilon}{2}E_x^2+ \frac{B_y^2}{2\mu}]\equiv c~w \end{array}\)
Remarque :
On peut considérer une surface \(A\) assez petite pour que \(S_z\) soit constant sur \(A\). Comme \(S_z = c w\), celà revient à supposer que \(w\) ne varie qu'avec \(t\) (ou qu'avec \(z\)).
\(\begin{array}{lll} \Rightarrow \iint_{(\Sigma)}\vec S\vec{d\Sigma}&=&\iint_{\Sigma}S_z\vec k.\vec{d\Sigma}=A.cw_{\textrm {en z}}-A.cw_{\textrm{en z}+\delta z} \\& =&-A.c\frac{\delta w}{\delta z}\delta z\equiv-A.c\frac{\delta w}{\delta t}\delta t \end{array}\)
\(w\) étant la densité d'énergie dans le volume (\(A. c.dt\)) délimité par la surface fermée (\(S\)), la quantité \((A. c.dt ).w\) est l'énergie \(W\) contenue dans (\(S\)).
\(\Rightarrow\iint_{(\Sigma)}\vec S.\vec{d\Sigma}=-(A.c.\delta t)\frac{\delta w}{\delta t}=-\frac{\delta W}{\delta t}\)
En faisant tendre \(\delta t\rightarrow0\), on retrouve ici le résultat général donné : \(\iint_{(\Sigma)}\vec S.\vec{d\Sigma}=-\frac{\partial W}{\partial t}\)
Valeurs moyennes. (notées : <...>)
\(<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon}{2}<E^2>=\frac{\varepsilon}{2}E_0^2<\cos^2(\omega t-Kz)>\)
\(\cos^2\alpha=\frac{1}{2}[\cos^2\alpha+1]\Rightarrow<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}> =\frac{\varepsilon E_0^2}{4}<(\cos^2(\omega t-Kz)+1)>\)
Moyenne dans le temps (sur \(\frac{T}{2}\))
\(=\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}\cos^2(\omega t-Kz)dt=[\frac{\sin2(\omega t-Kz)} {2\omega}]_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}=0\)
\(\Rightarrow\) il reste donc : \(<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon E_0^2}{4}\)
Moyenne dans l'espace (sur \(\frac{\lambda}{2}\)) : on trouve de la même façon :
\(<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon E_0^2}{4}\)
Remarquer que l'énergie électromagnétique se propage, puisque \(\vec S\) est une fonction de (\(\omega t-Kz\)), mais que ces valeurs moyennes restent constantes (ne dépendent ni de \(z\) ni de \(t\)).
