div~\vec e\land\vec b=\frac{\partial}{\partial x}[e_yb_z-e_zb_y]+\frac{\partial}{\partial y}[e_zb_x-e_xb_z]+\frac{\partial}{\partial z}[ e_xb_y-e_yb_x]
\vec b.\vec{rot}~\vec e=b_x[\frac{\partial e_z}{\partial y}-\frac{\partial e_y}{\partial z}]+b_y[\frac{\partial e_x}{\partial z}- \frac{\partial e_z}{\partial x}]+b_z[\frac{\partial e_y}{\partial x}-\frac{\partial e_x}{\partial y}]
\vec e.\vec{rot}~\vec b=e_x[\frac{\partial b_z}{\partial y}-\frac{\partial b_y}{\partial z}]+e_y[\frac{\partial b_x}{\partial z}- \frac{\partial b_z}{\partial x}]+e_z[\frac{\partial b_y}{\partial x}-\frac{\partial b_x}{\partial y}]
\vec b.\vec{rot}~\vec e-\vec e.\vec{rot}~\vec b=\begin{array} {l} -b_y\frac{\partial e_z}{\partial x}+b_z\frac{\partial e_y}{\partial x}+e_y\frac{\partial b_z}{\partial x}-e_z\frac{\partial b_y} {\partial z} \equiv \frac{\partial}{\partial x}[e_yb_z-e_zb_y] \\ -b_z\frac{\partial e_x}{\partial y}+b_x\frac{\partial e_z}{\partial y}+e_z\frac{\partial b_z}{\partial y}-e_x\frac{\partial b_z} {\partial y} \equiv \frac{\partial}{\partial y}[e_zb_x-e_xb_z] \\ -b_x\frac{\partial e_y}{\partial z}+b_y\frac{\partial e_z}{\partial y}+e_x\frac{\partial b_y}{\partial z}-e_y\frac{\partial b_x} {\partial z} \equiv \frac{\partial}{\partial z}[e_xb_y-e_yb_x] \end{array}
\Rightarrow\vec b.\vec{rot}~\vec e-\vec e.\vec{rot}~\vec b=div(\vec E\land\vec B)
Remarque : ces calculs sont longs et fastidieux et il est indispensable d'avoir un moyen de contrôle : vérifiez que les expressions ci-dessus peuvent se contrôler par permutation des indices, dans l'ordre x, y, z (cette permutation porte simultanément sur les indices et sur les variables de dérivation).
2. Pour démontrer la relation : div(\vec E\land\vec B)=-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{B^2}{2}+\varepsilon\mu\frac{E^2}{2})
on applique la relation précédente aux champs électrique et magnétique :
\Rightarrow div(\vec E\land\vec B)=\vec B.\vec{rot}~\vec E-\vec E.\vec{rot}~\vec B
Maxwell (en dehors des courants) \Rightarrow \left|\begin{array}{l} \vec{rot}~\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\ \vec{rot}~\vec B=\mu_0\vec j+\varepsilon\mu\frac{\partial\vec E}{\partial t}=\varepsilon\mu\frac{\partial\vec E} {\partial t} \end{array} \right.
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div(\vec E\land\vec B)=-\vec B.\frac{\partial\vec B}{\partial t}-\varepsilon\mu\vec E.\frac{\partial\vec E}{\partial t}=- \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(B^2+\varepsilon\mu E^2)
Le vecteur de Poynting est : \vec S=\frac{1}{\mu}\vec E\land\vec B \Rightarrow div~\vec S=-\frac{\partial}{\partial t}(\frac{B^2}{2\mu}+\frac{\varepsilon E^2}{2})
3. La densité d'énergie dans un volume t est : w=\frac{B^2}{2\mu}+\frac{\varepsilon E^2}{2}\Rightarrow div~\vec S=-\frac{\partial}{\partial t}w
\Rightarrow \iiint_{(\tau)}div~\vec S.d\tau=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{(\tau)}w.d\tau=-\frac{\partial W}{\partial t} où W est l'énergie contenue dans le volume (t).
4. L'onde qui se propage est plane \begin{array}{ll} \Rightarrow &\textrm{prenons }\quad \vec E\textrm{ selon }\vec i, ~ \vec B\textrm{ selon }\vec j \\ &\textrm{ et la propagation selon }\vec k \\\\ \Rightarrow & \vec B=\frac{1}{c}\vec u\land\vec E \quad \vec B=\frac{E}{c}\vec k\land\vec i=\frac{E}{c}\vec j \\ &\textrm{avec }\vec u=\vec k \quad \textrm{ et }\quad B=\frac{E}{c} \end{array}
W_{\textrm{\'elec}}=\frac{\varepsilon}{2}E_2
W_{magn}=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{E^2}{c^22\mu}=\frac{\varepsilon E^2}{2c^2\varepsilon\mu} avec c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\Rightarrow c^2\varepsilon\mu=1\Rightarrow W_{magn}=\frac{\varepsilon}{2}E^2
\vec S=\frac{1}{\mu}\vec E\land\vec B, \qquad \vec E\land\vec B est dans le sens du vecteur unitaire \vec u de la propagation.
5. On choisit la même orientation que dans la question précédente. La propagation de l'onde plane harmonique dans le sens de z croissant se représente par une fonction du type \cos(\omega t - Kz) [à un déphasage près que l'on peut choisir nul si les conditions initiales ne s'y opposent pas]
\left. \begin{array}{lll} E_x=E_0\cos(\omega t-Kz)\\\\ B_y=\frac{E_0}{c}\cos(\omega t-Kz)\end{array}\right| \begin{array}{lll} && \\\Rightarrow \vec S \textrm{ est sur } \vec k=\vec u :~ S_z &=& \frac{1}{\mu}E_x.B_y \\ &=& \frac{E_0^2}{\mu c}\cos^2(\omega t-Kz) \end{array}
\begin{array}{lll} \textrm{ Sachant que }\varepsilon \mu c^2=1&\Rightarrow &\frac{1}{\mu c}=\varepsilon ~c \\ &\Rightarrow &S_z=\frac{E^2_0}{\mu c}\cos^2(\omega t-Kz)\equiv c.\varepsilon E_x^2\equiv c[\frac{\varepsilon}{2}E_x^2+ \frac{B_y^2}{2\mu}]\equiv c~w \end{array}
Remarque :
On peut considérer une surface A assez petite pour que S_z soit constant sur A. Comme S_z = c w, celà revient à supposer que w ne varie qu'avec t (ou qu'avec z).
\begin{array}{lll} \Rightarrow \iint_{(\Sigma)}\vec S\vec{d\Sigma}&=&\iint_{\Sigma}S_z\vec k.\vec{d\Sigma}=A.cw_{\textrm {en z}}-A.cw_{\textrm{en z}+\delta z} \\& =&-A.c\frac{\delta w}{\delta z}\delta z\equiv-A.c\frac{\delta w}{\delta t}\delta t \end{array}
w étant la densité d'énergie dans le volume (A. c.dt) délimité par la surface fermée (S), la quantité (A. c.dt ).w est l'énergie W contenue dans (S).
\Rightarrow\iint_{(\Sigma)}\vec S.\vec{d\Sigma}=-(A.c.\delta t)\frac{\delta w}{\delta t}=-\frac{\delta W}{\delta t}
En faisant tendre \delta t\rightarrow0, on retrouve ici le résultat général donné : \iint_{(\Sigma)}\vec S.\vec{d\Sigma}=-\frac{\partial W}{\partial t}
Valeurs moyennes. (notées : <...>)
<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon}{2}<E^2>=\frac{\varepsilon}{2}E_0^2<\cos^2(\omega t-Kz)>
\cos^2\alpha=\frac{1}{2}[\cos^2\alpha+1]\Rightarrow<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}> =\frac{\varepsilon E_0^2}{4}<(\cos^2(\omega t-Kz)+1)>
Moyenne dans le temps (sur \frac{T}{2})
=\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}\cos^2(\omega t-Kz)dt=[\frac{\sin2(\omega t-Kz)} {2\omega}]_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}=0
\Rightarrow il reste donc : <W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon E_0^2}{4}
Moyenne dans l'espace (sur \frac{\lambda}{2}) : on trouve de la même façon :
<W_{\textrm{\'elec}}>=<W_{magn}>=\frac{\varepsilon E_0^2}{4}
Remarquer que l'énergie électromagnétique se propage, puisque \vec S est une fonction de (\omega t-Kz), mais que ces valeurs moyennes restent constantes (ne dépendent ni de z ni de t).