Séparation de variables
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\)n'agissant que sur les fonctions de la variable\(\mathrm{x}\).
La valeur propre associée à\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)est\(\textrm{E}_{\mathrm{n}}\).
Soit\(\Psi_{\textrm{m}}(\textrm y)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{\textrm y}\)n'agissant que sur les fonctions de la variable\(\textrm y\).
La valeur propre associée à\(\Psi_{\textrm{m}}(\textrm y)\)est\(\textrm{E}_{\textrm m}\).
Montrer que la fonction produit\(\Psi_{\textrm{nm}}(\mathrm{x,y}) = \Psi_{\textrm{n}}(x)\Psi_{\textrm{m}}(y)\)est fonction propre de l'opérateur
somme\(\widehat{\textrm{H}} = \widehat{\textrm{H}}_{x} + \widehat{\textrm{H}}_{y}\)et que la valeur propre associée est la somme\(\textrm{E}_{\textrm{nm}} = \textrm{E}_{\textrm{n}} + \textrm{E}_{\textrm{m}}\).
Solution
La fonction\(\Psi_{\textrm{n}}(x)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\). Elle vérifie l'équation aux valeurs propres
\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{n}}(x) = \textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{n}}(x)\)
La fonction\(\Psi_{\textrm{m}}(\textrm y)\)une fonction propre d'un opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{y}\). Elle vérifie l'équation aux valeurs propres
\(\widehat{\textrm{H}}_{y}\Psi_{\textrm{m}}(y) = \textrm{E}_{\textrm{m}}\Psi_{\textrm{m}}(y)\)
Appliquons l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}} = \widehat{\textrm{H}}_{x} + \widehat{\textrm{H}}_{y}\)à la fonction produit\(\Psi_{\textrm{nm}}(\textrm{x,y})\):
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \big(\widehat{\textrm{H}}_{x} + \widehat{\textrm{H}}_{y}\big)\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \widehat{\textrm{H}}_{x} \Psi_{\textrm{nm}}(x,y) + \widehat{\textrm{H}}_{y}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y)}\)
L'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\)n'agit que les fonctions de la variable x. Toute fonction de y est considérée comme une constante et peut passer à gauche de l'opérateur.
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{n}}(x)\Psi_{\textrm{m}}(y) = \Psi_{\textrm{m}}(y)\widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{n}}(x)}\)
Or\(\Psi_{\textrm{n}}(\textrm x)\)est fonction propre de\(\widehat{\textrm{H}}_{x}\):
\(\mathrm{\Psi_{\textrm{m}}(y)\widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{n}}(x) =\Psi_{\textrm{m}}(y)\textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{n}}(x) = \textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{m}}(y)\Psi_{\textrm{n}}(x) = \textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y)}\)
On a donc :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}_{x}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y)}\)
et on démontrerait de même que :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}_{y}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \textrm{E}_{\textrm{m}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y)}\)
Il vient enfin :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) =\textrm{E}_{\textrm{n}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) + \textrm{E}_{\textrm{m}}\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = (\textrm{E}_{\textrm{n}} + \textrm{E}_{\textrm{m}})\Psi_{\textrm{nm}}(x,y)}\)
La fonction\(\mathrm{\Psi_{\textrm{nm}}(x,y) = \Psi_{\textrm{n}}(x)\Psi_{\textrm{m}}(y)}\)est bien fonction propre de\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}} = \widehat{\textrm{H}}_{x} + \widehat{\textrm{H}}_{y}}\),
de valeur propre\(\textrm{E}_{\textrm{nm}} = \textrm{E}_{\textrm{n}} + \textrm{E}_{\textrm{m}}\).
On retiendra qu'on peut aisément séparer les variables lorsque les opérateurs sont découplés, c'est-à-dire lorsqu'ils s'écrivent comme somme d'opérateurs portant sur des variables différentes.