Chimie
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Fonction d'onde à une variable
Le test comporte 5 questions :
Particule sur un segment - état stationnaire
Particule sur un segment - conditions aux limites
Particule sur un segment - relation de normalisation
Particule sur un segment - probabilité de présence
Particule sur un segment - position la plus probable
La durée indicative du test est de 48 minutes.
Commencer
Particule sur un segment - état stationnaire

Soit une fonction d'onde décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes et .

On donne pour l'expression suivante :

, et sont des constantes réelles.

Montrer que cet état quantique est un état stationnaire, c'est-à-dire que la densité de probabilité de présence ne dépend pas du temps.

Particule sur un segment - conditions aux limites

Soit une fonction d'onde stationnaire décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes et . On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :

et sont des constantes réelles positives.

Pour être convenable physiquement, la fonction d'onde doit refléter le fait que la particule est confinée sur le segment.

Déterminer les conditions aux limites que doit respecter en 0 et .

En déduire la quantification des états quantique, en montrant que les fonctions convenables

de type sont caractérisées par un nombre entier.

Particule sur un segment - relation de normalisation

Soit une fonction d'onde stationnaire décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes et . On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :

est une constante réelle positive et n un entier strictement positif.

Déterminer la constante de normalisation .

On donne :

Particule sur un segment - probabilité de présence

Soit une fonction d'onde stationnaire et normalisée décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes et . On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :

où n un entier strictement positif.

Déterminer la probabilité de présence de la particule sur les segments et .

On donne :

Particule sur un segment - position la plus probable

Soit une fonction d'onde stationnaire et normalisée décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes et . On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :

où n un entier strictement positif.

La position la plus probable correspond à l'endroit où la densité de probabilité de présence est maximale.

Déterminer les positions les plus probables dans les états .

Application aux états et .

On donne :

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Particule sur un segment - état stationnaire

La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde.

On a donc :

On peut alors travailler sur la partie spatiale uniquement, qui ne dépend que de la variable d'espace x.

0
1
Particule sur un segment - conditions aux limites

La densité de probabilité de présence devant être nulle à l'extérieur du segment , elle doit être nulle par continuité sur les bords du segment :

et

La fonction d'onde doit donc s'annuler sur les bords du segment.

et

On trouve alors que le sinus doit s'annuler en L :

avec

ou encore :

La constante est proportionnelle à un nombre entier. On a ainsi défini un ensemble de fonctions d'onde convenables de la forme :

A chaque valeur du nombre quantique n correspond un état quantique particulier. Il y a quantification des états.

0
1
2
3
4
5
Particule sur un segment - relation de normalisation

La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde. On a donc :

On somme sur le segment. On doit trouver 1 si la fonction est normalisée :

soit :

Or

Il vient donc en définitive :

soit :

0
1
2
3
4
5
Particule sur un segment - probabilité de présence

La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde.

On a donc :

On somme cette densité pour chaque segment.

Pour le premier segment, on intègre la densité sur le segment :

soit :

La dernière intégrale s'annule et il reste :

La probabilité de présence sur le segment est de soit 50%.

On montrerait de même que la particule a 50% de chance de se trouver sur le segment suivant .

Densité de probabilité de présence dans les états et

L'aire hachurée représente la probabilité de présence sur le segment .

0
1
2
3
4
5
Particule sur un segment - position la plus probable

On exprime la densité et on cherche son maximum.

La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde.

On a donc :

Il suffit de chercher un extremum entre 0 et L. On cherche donc à annuler la dérivée de la densité.

Cette dérivée s'annule lorsque

et

La particule est sur le segment de longueur L ; on doit donc ne retenir que les positions comprises entre 0 et L. Par exemple pour n=1, on retient la solution . La position la plus probable est au milieu du segment. Pour n=2, il y a trois valeurs possibles : x = L/4, L/2 et 3L/4. La densité étant nulle en L/2, cette position ne peut être qu'un minimum.

Densité de probabilité de présence dans les états et

Son maximum est en L/2.

Ses maxima équiprobables sont en L/4 et 3L/4.

0
1
2
3
4
5
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/21
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :48 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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