Particule sur un segment - conditions aux limites
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi\textrm{(x,t)}\)une fonction d'onde stationnaire décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes \(\textrm{X} = 0\) et \(\textrm{X} = \textrm{L}\). On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :
\(\Psi(x) = \textrm{A} \sin (\beta x)\)
où \(\textrm{A}\) et \(\beta\) sont des constantes réelles positives.
Pour être convenable physiquement, la fonction d'onde doit refléter le fait que la particule est confinée sur le segment.
Déterminer les conditions aux limites que doit respecter\(\Psi\textrm{(x,t)}\)en 0 et \(\textrm{L}\).
En déduire la quantification des états quantique, en montrant que les fonctions convenables
de type \(\textrm{A} \sin (\beta x)\)sont caractérisées par un nombre entier.
Solution
La densité de probabilité de présence devant être nulle à l'extérieur du segment \([0, \textrm{L}]\) , elle doit être nulle par continuité sur les bords du segment :
\(\mid \Psi (0)\mid^2 = 0\)et\(\mid \Psi (\textrm{L})\mid^2 = 0\)
La fonction d'onde doit donc s'annuler sur les bords du segment.
\(\Psi (0) = 0\)et\( \Psi (\textrm{L}) = 0\)
On trouve alors que le sinus doit s'annuler en L :
\(\mathrm{\sin(\beta L) = 0 \Leftrightarrow \beta L = n\pi}\)avec\(\mathrm{n > 0}\)
ou encore :
\(\mathrm{\beta = \frac{n\pi}{L}}\)
La constante\(\beta\)est proportionnelle à un nombre entier. On a ainsi défini un ensemble de fonctions d'onde convenables de la forme :
\(\mathrm{\Psi_{n}(x) = A \sin (n \pi x/L )}\)
A chaque valeur du nombre quantique n correspond un état quantique particulier. Il y a quantification des états.